L’origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamo documenti sufficienti per capire come l’uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana.
Sono stati ritrovati tronchi fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delle incisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Osso di Ishango” in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congo Belga tra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino dei numeri o dei calcoli. L’osso risale a un periodo tra il 20.000 a.C. e il 18.000 a.C.,
L’osso di Ishango [http://it.wikipedia.org/wiki/Osso_d’Ishango]
Possiamo immaginare che i pastori per contare i capi del proprio gregge, facessero delle tacche su dei bastoni mano a mano che le pecore entravano nel recinto una alla volta: una tacca per ogni pecora. Tuttavia, questo metodo di associazione uno ad uno (una tacca per una pecora) non è efficace per greggi, o oggetti da contare, di grandi dimensioni. Si immagini, per esempio, la difficoltà di tracciare cinquecento tacche su un bastone. E’ possibile allora che per rappresentare numeri grandi si siano cominciati a usare simboli specifici che richiamassero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regole per associare questi simboli.
Sappiamo per certo che circa 6000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sulla pietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10:
Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 3673 così:
Gli antichi Babilonesi usavano invece i seguenti simboli
In questo modo il numero 32 veniva scritto
I Romani usavano invece sette simboli con i quali, seguendo determinate regole, rappresentavano qualunque numero.
I simboli sono I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000.
Il numero MM rappresenta 1000+1000 = 2000.
Il numero VI rappresenta 5+1=6, mentre il numero IV rappresenta 5-1=4.
Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero non è altro che una sequenza ordinata di cifre, eventualmente ripetute.
Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra.
Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: per rappresentare il numero 10 dispongo un dischetto nell’asta a sinistra e vuoto la prima asta: il numero dieci viene rappresentato dalla scrittura 10.
I dischetti sull’ultima asta rappresentano il numero 9; un dischetto sulla penultima rappresenta il numero 10.
Per rappresentare il numero cento si fa uso della scrittura 100. Ovvero si sposta il numero 1 ancora
a sinistra ponendo uno zero nel posto lasciato vuoto. Questo metodo può essere ripetuto per rappresentare tutti i numeri che risultino potenza di dieci, ovvero dieci, cento, mille…
Le potenze di 10 sono importanti nel sistema decimale poiché rappresentano il peso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti.
Per esempio, tre dischetti nella terza asta rappresentano il numero . Il numero 219 si rappresenta tenendo conto di questa scrittura .
Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è decimale o a base dieci, perché usiamo dieci simboli (cifre) per scrivere i numeri, posizionale perché una stessa cifra assume un peso (valore) diverso a seconda della posizione che occupa.
I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone si chiamano numeri naturali
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13…
L’insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera .
Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie...? Evidentemente il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti gli insiemi formati da 5 oggetti. Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a se stante, un oggetto astratto di tipo matematico.
Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto cardinale del numero), vengono usati anche per rappresentare l’ordine con cui si presentano gli oggetti, (aspetto ordinale), l’ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo, secondo, terzo...
Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli, e nonostante l’umanità li usi da tempi antichissimi una loro piena comprensione non è semplice, come dimostra il fatto che ancora oggi i matematici ne discutono. Il dibattito su cosa siano i numeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del XX secolo, quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tanti altri. Oggi ci sono diversi punti di vista.
I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l’origine della semiretta, come verso di percorrenza si prende quello da sinistra verso destra, e come unità di misura un segmento AB. Si riporta questa unità di misura più volte partendo dall’origine e a ogni passo si va al numero successivo.
Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L’insieme
ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo.
I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che si procede da sinistra verso destra. Ogni numero è maggiore di tutti i suoi precedenti, quelli che stanno alla sua sinistra, e minore di tutti i suoi successivi, quelli che stanno alla sua destra. Tra i numeri naturali esiste quindi una relazione d’ordine, che si rappresenta con il simbolo di disuguaglianza o disuguaglianza stretta <.
Grazie a questo ordinamento, è sempre possibile confrontare due numeri naturali qualsiasi n, m, ottenendo uno solo dei seguenti tre casi:
legge di tricotomia n > m , n < m, n = m
Tra i numeri naturali è definita l’operazione di addizione come segue:
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, detti addendi, l’operazione di addizione associa ai due addendi un terzo numero s, detto somma, che si ottiene partendo da n e procedendo verso i successivi di n tante volte quante indica il secondo addendo m. Si scrive .
Ad esempio se vogliamo eseguire la somma 3 + 5 dobbiamo partire da 3 e contare 5 numeri successivi:
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, detti fattori, l’operazione di moltiplicazione associa ai due fattori un terzo numero p, detto prodotto, che si ottiene sommando n addendi tutti uguali a m.
L’operazione di moltiplicazione si indica con diversi simboli:
, ,
Le operazioni di addizione e moltiplicazione si dicono **operazioni interne **all’insieme dei numeri naturali, esse infatti danno sempre come risultato un numero naturale.
Diamo la seguente definizione.
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, il primo detto minuendo e il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale d, se esiste, che aggiunto ad m dà come somma n. Si scrive n-m=d.
Per esempio, 7-5 = 2 perché 5+2=7.
Non esiste invece la differenza tra 5 e 7, in quanto nessun numero naturale aggiunto a 7 può dare 5.
Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.
Diventa allora evidente perché non è possibile trovare la differenza tra 5 e 7, infatti partendo dal 5 non è possibile andare indietro di 7 posizioni, poiché non è possibile andare oltre il numero 0 che è il più piccolo dei numeri naturali.
Si può osservare allora che in:math:mathbb{N} la sottrazione
è possibile solo se
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, con , il primo detto dividendo e il secondo divisore, si dice quoziente esatto un numero naturale q, se esiste, che moltiplicato per m dà come prodotto n. Si scrive .
Se il quoziente esiste, il numero m si dice divisore di n, oppure n è divisibile per m.
DEFINIZIONE. Un numero naturale a si dice multiplo di un numero naturale b se esiste un numero c *che moltiplicato per *b dà *a, *cioè .
Esempi
Quindi, 12 è divisibile per 3; 3 è un divisore di 12; 12 è un multiplo di 3.
Osservazione
In:math:mathbb{N} la divisione tra due numeri a e bè possibile solo se a è multiplo di b.
Come hai potuto notare dagli esercizi precedenti la divisione tra due numeri naturali non è sempre possibile. Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto.
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m *, con :math:`m neq 0` , si dice **quoziente* tra n e m, il più grande numero naturale q che moltiplicato per m dà un numero minore o uguale a n. Si dice resto della divisione tra n e m la differenza r tra il dividendo n e il prodotto tra il divisore m e il quoziente q.
Esempi
Nella divisione con resto tra 25 e 7 si ha quoziente 3 (infatti 7x3=21 mentre 7x4=28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 25-21=4). Pertanto si può scrivere 25=7x3+4.
Osservazione
Nella definizione di quoziente abbiamo sempre richiesto che il divisore sia diverso da zero. In effetti se il divisore è 0 non c’è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero.
Per esempio, nella divisione 5:0 dobbiamo ottenere un numero che moltiplicato per 0 dà 5; ciò non è possibile in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0.
Invece nella divisione 0:0 un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto.
Nel linguaggio matematico diciamo che una divisione del tipo n:0, con , è impossibile; mentre la divisione 0:0 diciamo che è indeterminata.
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, con ,la divisione intera è l’operazione che dà il più grande numero naturale q (il quoziente) per il quale si ha .
Non è possibile eseguire la divisione intera per 0.
DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, con ,l’operazione che restituisce il resto della divisione intera tra n e m si chiama modulo di n rispetto a m e si indica con .
Esempi
Ripassiamo l’algoritmo della divisione intera per numeri a più cifre; questo algoritmi risulterà particolarmente utile per la divisone di polinomi che studierai nel seguito
Esempi
3 | 2 | 7 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 | 9 | 1 | 0 | 7 | 1 | 2 | 5 | 9 | 4 | 3 | 1 | 7 | 1 | |||
2 | 3 | 1 | 4 | 1 | 0 | 7 | 1 | 2 | 1 | 1 | 9 | 7 | 7 | 3 | 6 | ||||||||
9 | 7 | 2 | 5 | 9 | 6 | 2 | 4 | ||||||||||||||||
8 | 6 | 2 | 1 | 4 | 5 | 1 | 3 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 4 | 5 | 1 | 1 | 1 | 3 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 2 | 6 | ||||||||||||||||||||
8 | 7 |
327 : 23 = quoziente 14 e resto 11
1329 : 107 = quoziente 12 e resto 45
125943 : 171 = quoziente 736 e resto 87
Una operazione gode dellaproprietà commutativa se, cambiando l’ordine dei numeri sui quali essa va eseguita, il risultato non cambia. La proprietà commutativa vale sia per l’addizione che per la moltiplicazione.
Operazione | In simboli | Esempio |
---|---|---|
Addizione | e:math:5 + 3 = 8 | |
Moltiplicazione | e:math:5 cdot 3 = 15 |
La proprietà commutativa non vale per la sottrazione, la divisione, la divisione intera, il modulo e la potenza.
Operazione | In simboli | Esempio |
---|---|---|
Sottrazione | non si può fare | |
Divisione | non si può fare | |
Divisione intera |
|
|
Resto (mod) |
|
|
Potenza |
|
Un’operazione gode della proprietà associativase, presi arbitrariamente tre numeri legati da due operazioni, è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che si ottiene è sempre lo stesso.
La proprietà associativa vale per l’addizione e la moltiplicazione
Operazione | In simboli | Esempio |
---|---|---|
Addizione |
|
|
Moltiplicazione |
|
La proprietà associativa non vale per la sottrazione, la divisione, la divisione intera, il modulo e la potenza.
Una operazione ha un elemento neutro se composto con qualsiasi altro numero lo lascia invariato, sia quando il numero è a destra, sia quando è a sinistra.
L’elemento neutro dell’addizione è 0 e l’elemento neutro della moltiplicazione è 1:
Operazione | In simboli | Esempio |
---|---|---|
Addizione | ||
Moltiplicazione |
Le altre operazioni non hanno elemento neutro, ma hanno “l’elemento neutro a destra”:
L’operazione Resto (mod) non ha elemento neutro.
La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione.
Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra. Lo stesso vale per la sottrazione
Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione.
Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che dividere ogni addendo per il divisore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale solo se la somma è a sinistra. Lo stesso vale per la sottrazione
Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra.
Esempio
Eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente .
Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene .
Il risultato corretto è il primo.
Proprietà distributiva della divisione rispetto la sottrazionesolo se la sottrazione è a sinistra:
Esempi
In questo caso la sottrazione è a sinistra
In questo caso la sottrazione è a destra
Il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se almeno uno dei fattori è nullo.
La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione particolare con tutti i fattori uguali.
DEFINZIONE. Dati due numeri naturali a e b, con b>1 il primo detto base, il secondo esponente, la potenza di a con esponente b è il numero p che si ottiene moltiplicando fra loro b fattori tutti uguali ad a. Si scrive
e si legge “a elevato a b uguale a p”.
Alla definizione precedente vanno aggiunti i seguenti casi particolari che completano la definizione:
1. Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Esempio: .
La proprietà segue da questa osservazione:
o uguale all’esponente della seconda, è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Esempio: .
La proprietà segue da questa osservazione:
La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha la base della prima
potenza e per esponente il prodotto degli esponenti.
Esempio: .
La proprietà segue da questa osservazione:
uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.
Esempio: .
La proprietà segue da questa osservazione:
La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze dei singoli
fattori.
Esempio:math:( 4 div 2 )^{8}=4^{8} div 2^{8} .
Inserisci i numeri mancanti:
Calcola applicando le proprietà delle potenze:
Calcola:
Completa applicando le proprietà delle potenze
Il risultato di è
[A] 368
[B]
[C] 15+15
[D]
è
[A] 200
[B]
[C]
[D] 1000
Osserva il seguente schema
In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6.
DEFINIZIONE. Chiamiamo divisore proprio di un numero un divisore diverso dal numero stesso e dall’unità.
Osserva ora il seguente schema
Nella casella centrale grigia puoi inserire soltanto i numeri 31 o 1.
DEFINIZIONI
Un numero p > 1 si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l’unità.
Un numero naturale maggiore di 1 si dice composto se non è primo.
0 non è primo né composto
1 non è primo né composto
2 è primo
3 è primo
4 è composto
5 è primo
6 è composto
7 è primo
8 è composto
9 è composto
10 è composto
11 è primo
12 è composto
13 è primo
14 ............
Esempi
Ma quanti sono i numeri primi? La risposta a questa domanda venne data da Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome:
TEOREMA DI EUCLIDE.I numeri primi sono infiniti.
Euclide infatti ci ha fatto vedere come sia possibile costruire numeri primi comunque grandi, dato un numero primo infatti è sempre possibile costruirne uno più grande.
numeri naturali fino a 100. Per trovare i numeri primi, seleziona 1 e 2, poi cancella tutti i multipli di 2. Seleziona il 3 e cancella i multipli di 3. Seleziona il primo dei numeri che non è stato cancellato, il 5, e cancella tutti i multipli di 5. Procedi in questo modo fino alla fine della tabella. Quali sono i numeri primi minori di 100?
Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra 2 e la radice quadrata del numero.
Esempi
Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità.
Divisibilità per 2: un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.
Divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3.
Divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 .
Divisibilità per 7: un numero (maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza (in valore assoluto) fra il numero ottenuto togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 7 o un multiplo di 7.
252 è divisibile per 7, infatti:math:leftlvert 25-2 cdot 2 rightrvert =21 è multiplo di 7.
49 è divisibile per 7, infatti:math:leftlvert 4-2 cdot 9 rightrvert =14 è multiplo di 7.
31 non è divisibile per 7, infatti:math:leftlvert 3-2 cdot 1 rightrvert =1 non è multiplo di 7.
887 non è divisibile per 7, infatti:math:leftlvert 88-2 cdot7 rightrvert =74
non è divisibile per 7.
Divisibilità per 11: un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 , 11 o un multiplo di 11.
253 è divisibile per 11, infatti:math:leftlvert 5- ( 2 + 3 ) rightrvert =0 .
9482 è divisibile per 11, infatti:math:leftlvert ( 9 + 8 )-( 4 + 2 ) rightrvert =11 .
31 non è divisibile per 11, infatti:math:leftlvert 3-1 rightrvert =2 .
887 non è divisibile per 11, infatti .
Possiamo pensare di scrivere un numero naturale qualsiasi come prodotto di altri numeri. Scomporre in fattori un numero significa appunto scriverlo come prodotto di altri numeri naturali.
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA. Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.
Esempio
Scomporre in fattori primi il numero 630.
{urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}line630 2 630 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è pari
315 3 315 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 9 divisibile per 3
105 3 105 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 6 divisibile per 3
35 5 35 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5
7 7
1
In generale, quindi, un numero può essere scomposto in fattori in più modi. Per esempio, , ma anche . Il teorema appena enunciato ci assicura che, se si scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell’ordine con cui si scrivono i fattori. Tornando all’esempio precedente
è l’unico modo in cui il 12 si può scomporre in fattori primi, a meno che non
si scambiano di posto i fattori .
“a e b sono due numeri primi”, “a e b sono due numeri primi tra di loro”
Fai degli esempi che mettano in evidenza la differenza tra le due osservazioni.
16 | 18 | 24 | 30 | 32 | 36 | 40 |
42 | 48 | 52 | 60 | 72 | 81 | 105 |
120 | 135 | 180 | 225 | 525 | 360 | 675 |
715 | 1900 | 1078 | 4050 | 4536 | 12150 | 15246 |
85050 | 138600 | 234000 | 255000 | 293760 | 550800 | 663552 |
Alcuni risultati: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
DEFINIZIONE: Il massimo comune divisore di numeri naturali a e b, si indica con MCD(a,b), è il più grande tra tutti i divisori comuni ad a e b.
Esempio
Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 12 si ottiene prendendo tutti i divisori di 18 e 12
divisori di 18: | 18 | 9 | 6 | 3 | 2 | 1 |
divisori di 12: | 12 | 6 | 4 | 2 | 1 |
I divisori comuni sono 6, 2, 1.
Il più grande dei divisori comuni è 6.
Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente
**Procedura per calcolare il M.C.D. di due o più numeri naturali **
Esempi
Calcolare MCD( 60, 48, 36)
si scompongono in fattori i singoli numeri:math:60=2 ^{2}cdot3cdot5 **, ** **, **
I fattori comuni sono 2 e 3, il 2 compare con l’esponente minimo 2; il 3 compare con esponente minimo 1. PertantoMCD( 60, 48, 36) =
Calcolare MCD( 60, 120, 90)
si scompongono in fattori i singoli numeri:math:60=2 ^{2}cdot3cdot5 , e
I fattori in comune sono 2, 3, 5.
L’esponente minino è 1 per tutti, pertanto
MCD( 60, 120, 90) =
DEFINIZIONE.Due numeri a e b si dicono primi tra loro o coprimi se MCD(a,b) = 1.
Esempi
DEFINIZIONE. Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b, si indica con mcm(a,b), è il più piccolo tra tutti i multipli di a e di b.
Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorre calcolare i primi multipli dei due numeri
multipli di 6: | 6, | 12, | 18, | 24, | 30, | 36, | 42, | 48, | 54, | 60, ... |
multipli di 15: | 15, | 30, | 45, | 60, | 75, | 90, | ... |
Sono multipli comuni 30, 60, 90, …
Il più piccolo dei multipli comuni è 30.
Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente
Procedura per calcolare il m.c.m. di due o più numeri naturali
Esempi
Tutti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l’esponente più grande con cui compaiono: 24, 32, 5. Il m.c.m. è:math:2^{4} cdot3^{2} cdot5 =720
Moltiplicando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente si ha:math:2^{3} cdot3^{2} cdot5^{2} = 1800
Scomponendo in fattori si ha:math:180=2 ^{2}cdot3^{2} cdot5 **, ** **, **
M.C.D =
=:math:2 ^{dots}cdot3^{dots}cdot 5^{dots} = dots
|
R.(30;3) | 12; 50 | R.(300;2) | 1; 6; 10; 14 | R.(210;1) |
|
R.(5; 30) | 2; 4; 8 | R.(2; 8) | 2; 1; 4 | R.(1; 4) |
|
24; 12; 16 | 6; 16; 26 | |||
|
50; 120; 180 | 20; 40; 60 | |||
|
30; 60; 27 | 45; 15; 35 | |||
|
30; 27; 45 | 126; 180 | |||
|
6; 4;10 | 5; 4; 10 | |||
|
3; 4; 5 | 6; 8; 12 | |||
|
12; 14; 15 | 15; 18; 24 | |||
|
R.(600;10) | 44; 66; 12 | R.(132;2) | 24; 14; 40 | R.(840; 2) |
Esempio
Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315 cm per 435 cm con mattonelle quadrate più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?
Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune tra 315 e 435.
Le mattonelle devono avere il lato di 15cm. Ci vogliono mattonelle per ricoprire il lato di 435cm e mattonelle per ricoprire il lato da 315cm. In tutto occorrono mattonelle.
Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue. Per esempio “Luca ha detto Mario è stato promosso” può avere due significati diversi a seconda di come si inserisce la punteggiatura:
scrivendo “Luca, ha detto Mario, è stato promosso” significa che è stato promosso Luca;
scrivendo “Luca ha detto: Mario è stato promosso” significa che è stato promosso Mario.
Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le operazioni. Per esempio l’espressione
può valere 14 se si esegue per prima la moltiplicazione, infatti :math:`2 + 3
cdot 4 = 2 + 12 = 14` ; può valere 20 se si esegue per prima l’addizione, infatti .
Per eliminare queste ambiguità sono state fissate alcune regole.
DEFINIZIONE. Un’espressione aritmetica è una successione di operazioni da eseguire su più numeri.
si sono eseguite le operazioni nell’ordine in cui compaiono;
è stata eseguita per prima l’ultima addizione. Il risultato è lo stesso.
in questo caso si è seguito l’ordine in cui compaiono;
in questo caso di è seguito l’ordine opposto. Il risultato è lo stesso.
eseguendo le sottrazioni nell’ordine con cui compaiono;
eseguendo le sottrazioni nell’ordine inverso il risultato è errato.
- Esempio
- =:math:18 div 2 div 9 + 25 - 2 cdot 9 div 3 - 1 =:math:9 div 9 + 25 - 18 div 3 - 1 =:math:1 + 25 - 6 - 1 =:math:26 - 6 - 1 =:math:20 - 1 = 19
- =:math:5 cdot ( 4 + 9 ) - 1 =:math:5 cdot 13 - 1 =:math:65 - 1 =:math:64
L’uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più semplice l’ordine da seguire nelle operazioni ma in un’espressione tutte le parentesi possono essere tonde. Ciò accade, per esempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice.
Calcola il valore delle seguenti espressioni