Numeri naturali ==== L'origine dei numeri ---- L’origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamo documenti sufficienti per capire come l'uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana. .. figure:: ../images/immagini3.jpg :align: center :width: 9.999cm :height: 3.311cm Sono stati ritrovati tronchi fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delle incisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Osso di Ishango” in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congo Belga tra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino dei numeri o dei calcoli. L'osso risale a un periodo tra il 20.000 a.C. e il 18.000 a.C., L'osso di Ishango [http://it.wikipedia.org/wiki/Osso_d'Ishango] Possiamo immaginare che i pastori per contare i capi del proprio gregge, facessero delle tacche su dei bastoni mano a mano che le pecore entravano nel recinto una alla volta: una tacca per ogni pecora. Tuttavia, questo metodo di associazione uno ad uno (una tacca per una pecora) non è efficace per greggi, o oggetti da contare, di grandi dimensioni. Si immagini, per esempio, la difficoltà di tracciare cinquecento tacche su un bastone. E' possibile allora che per rappresentare numeri grandi si siano cominciati a usare simboli specifici che richiamassero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regole per associare questi simboli. Sappiamo per certo che circa 6000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sulla pietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10: .. figure:: ../images/immagini4.png :align: center :width: 14.614cm :height: 1.288cm Le potenze del 10 nella scrittura degli antichi Egizi Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 3673 così: |immagini5| .. |immagini5| image:: ../images/immagini5.png Gli antichi Babilonesi usavano invece i seguenti simboli |immagini6| .. |immagini6| image:: ../images/immagini6.png In questo modo il numero 32 veniva scritto |immagini7| .. |immagini7| image:: ../images/immagini7.png I Romani usavano invece sette simboli con i quali, seguendo determinate regole, rappresentavano qualunque numero. I simboli sono I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000. Il numero MM rappresenta 1000+1000 = 2000. Il numero VI rappresenta 5+1=6, mentre il numero IV rappresenta 5-1=4. Il sistema di numerazione decimale posizionale ---- Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti **cifre**. Un numero non è altro che una sequenza ordinata di cifre, eventualmente ripetute. Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra. Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: per rappresentare il numero 10 dispongo un dischetto nell’asta a sinistra e vuoto la prima asta: il numero dieci viene rappresentato dalla scrittura 10. I dischetti sull'ultima asta rappresentano il numero 9; un dischetto sulla penultima rappresenta il numero 10. Per rappresentare il numero cento si fa uso della scrittura 100. Ovvero si sposta il numero 1 ancora a sinistra ponendo uno zero nel posto lasciato vuoto. Questo metodo può essere ripetuto per rappresentare tutti i numeri che risultino potenza di dieci, ovvero dieci, cento, mille… .. figure:: ../images/immagini65.png :align: center :width: 8.299cm :height: 3.798cm Le potenze di 10 sono importanti nel sistema decimale poiché rappresentano il peso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti. Per esempio, tre dischetti nella terza asta rappresentano il numero :math:`3 \cdot 10^{2} = 300` . Il numero 219 si rappresenta tenendo conto di questa scrittura :math:`2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10 + 9` . Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è decimale o a base dieci, perché usiamo dieci simboli (cifre) per scrivere i numeri, posizionale perché una stessa cifra assume un peso (valore) diverso a seconda della posizione che occupa. I numeri naturali ---- I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone si chiamano **numeri naturali** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13… L'insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera :math:`\mathbb{N}` . Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie...? Evidentemente il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti gli insiemi formati da 5 oggetti. Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a se stante, un oggetto astratto di tipo matematico. Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto **cardinale** del numero), vengono usati anche per rappresentare l'ordine con cui si presentano gli oggetti, (aspetto **ordinale**), l'ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo, secondo, terzo... Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli, e nonostante l'umanità li usi da tempi antichissimi una loro piena comprensione non è semplice, come dimostra il fatto che ancora oggi i matematici ne discutono. Il dibattito su cosa siano i numeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del XX secolo, quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tanti altri. Oggi ci sono diversi punti di vista. Rappresentazione geometrica ^^^^ I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l'origine della semiretta, come verso di percorrenza si prende quello da sinistra verso destra, e come unità di misura un segmento AB. Si riporta questa unità di misura più volte partendo dall'origine e a ogni passo si va al numero successivo. .. figure:: ../images/immagini1.png :align: center :width: 9.71cm :height: 2.05cm Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L'insieme :math:`\mathbb{N}` ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo. I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che si procede da sinistra verso destra. Ogni numero è maggiore di tutti i suoi precedenti, quelli che stanno alla sua sinistra, e minore di tutti i suoi successivi, quelli che stanno alla sua destra. Tra i numeri naturali esiste quindi una relazione d’ordine, che si rappresenta con il simbolo di disuguaglianza :math:`\leq` o disuguaglianza stretta <. Grazie a questo ordinamento, è sempre possibile confrontare due numeri naturali qualsiasi *n*, *m*, ottenendo uno solo dei seguenti tre casi: **legge di tricotomia** *n > m ,* *n < m,* *n = m* Operazioni con i numeri naturali ---- Addizione e moltiplicazione di numeri naturali ^^^^ Tra i numeri naturali è definita l'operazione di addizione come segue: DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali *n* e *m*, detti **addendi**, l'operazione di **addizione** associa ai due addendi un terzo numero s, detto **somma**, che si ottiene partendo da n e procedendo verso i successivi di n tante volte quante indica il secondo addendo m. Si scrive :math:`n + m = s` . Ad esempio se vogliamo eseguire la somma 3 + 5 dobbiamo partire da 3 e contare 5 numeri successivi: |immagini66| .. |immagini66| image:: ../images/immagini66.png DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, detti **fattori**, l'operazione di **moltiplicazione** associa ai due fattori un terzo numero p, detto **prodotto**, che si ottiene sommando n addendi tutti uguali a m. L'operazione di moltiplicazione si indica con diversi simboli: :math:`p = n \times m` , :math:`p = n \cdot m` , :math:`p = n \ast m` Per eseguire la moltiplicazione :math:`4 \cdot 2` dobbiamo addizionare 2+2+2+2, otteniamo 8. Le operazioni di addizione e moltiplicazione si dicono **operazioni interne **all'insieme dei numeri naturali, esse infatti danno sempre come risultato un numero naturale. #. Rispondi alle seguenti domande a. Esiste il numero naturale che aggiunto a 3 dà come somma 6? #. Esiste il numero naturale che aggiunto a 12 dà come somma 7? #. Esiste il numero naturale che moltiplicato per 4 dà come prodotto 12? #. Esiste il numero naturale che moltiplicato per 5 dà come prodotto 11? Sottrazione e divisione di numeri naturali ^^^^ Diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali n e m, il primo detto **minuendo** e il secondo **sottraendo**, si dice **differenza** il numero naturale d, se esiste, che aggiunto ad m dà come somma n. Si scrive n-m=d. Per esempio, 7-5 = 2 perché 5+2=7. Non esiste invece la differenza tra 5 e 7, in quanto nessun numero naturale aggiunto a 7 può dare 5. Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni. |immagini67| .. |immagini67| image:: ../images/immagini67.png Diventa allora evidente perché non è possibile trovare la differenza tra 5 e 7, infatti partendo dal 5 non è possibile andare indietro di 7 posizioni, poiché non è possibile andare oltre il numero 0 che è il più piccolo dei numeri naturali. |immagini68| .. |immagini68| image:: ../images/immagini68.png Si può osservare allora che in:math:`\mathbb{N}` la sottrazione :math:`a - b` è possibile solo se :math:`b \leq a` DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali *n* e *m*, con :math:`m \neq0` , il primo detto **dividendo** e il secondo **divisore**, si dice **quoziente esatto** un numero naturale *q*, se esiste, che moltiplicato per *m* dà come prodotto *n*. Si scrive :math:`n \div m = q` . Se il quoziente esiste, il numero *m* si dice **divisore** di *n*, oppure *n* è **divisibile** per *m*. DEFINIZIONE. Un numero naturale *a* si dice **multiplo** di un numero naturale *b* se esiste un numero *c *che moltiplicato per *b* dà *a, *cioè :math:`a = c \cdot b` . Esempi * 12:3=4 perché 3x4=12. Quindi, 12 è divisibile per 3; 3 è un divisore di 12; 12 è un multiplo di 3. * 20 è divisibile per 4 perché 20:4=5. * 7 è divisore di 35 perché 35:7=5. * 6 è multiplo di 3 perché 6=2x3. * 5 non è multiplo di 3, non esiste alcun numero naturale che moltiplicato per 3 dà 5 **Osservazione** In:math:`\mathbb{N}` la divisione tra due numeri a e bè possibile solo se a è multiplo di b. #. Inserisci il numero naturale mancante, se esiste: .. list-table:: Tabella21 :header-rows: 0 Come hai potuto notare dagli esercizi precedenti la divisione tra due numeri naturali non è sempre possibile. Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto. DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali *n* e *m *, con :math:`m \neq 0` , si dice **quoziente** tra *n* e *m*, il più grande numero naturale *q* che moltiplicato per *m* dà un numero minore o uguale a *n*. Si dice **resto** della divisione tra *n* e *m* la differenza *r* tra il dividendo *n* e il prodotto tra il divisore *m* e il quoziente *q*. In simboli :math:`r = n - m \times q` o anche :math:`n = m \times q + r` .. figure:: ../images/immagini69.png :align: center :width: 5.65cm :height: 2.621cm Esempi Nella divisione con resto tra 25 e 7 si ha quoziente 3 (infatti 7x3=21 mentre 7x4=28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 25-21=4). Pertanto si può scrivere 25=7x3+4. * 0:2 = 0 * 1:2 = 0 con resto 1 * 5:2 = 2 con resto 1 **Osservazione** Nella definizione di quoziente abbiamo sempre richiesto che il divisore sia diverso da zero. In effetti se il divisore è 0 non c'è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero. Per esempio, nella divisione 5:0 dobbiamo ottenere un numero che moltiplicato per 0 dà 5; ciò non è possibile in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Invece nella divisione 0:0 un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto. Nel linguaggio matematico diciamo che una divisione del tipo n:0, con :math:`n \neq 0` , è **impossibile**; mentre la divisione 0:0 diciamo che è **indeterminata**. DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali *n* e *m*, con :math:`m \neq 0` ,la **divisione intera**:math:`n\text{ div} m` è l'operazione che dà il più grande numero naturale q (il quoziente) per il quale si ha :math:`q \times m \leq n` . Non è possibile eseguire la divisione intera per 0. :math:`3 \text{ div} 0= non si può fare` :math:`0 \text{ div} 5=0` :math:`9 \text{ div} 2=4` :math:`3 \text{ div} 5=0` DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali *n* e *m*, con :math:`m \neq 0` ,l'operazione che restituisce il resto della divisione intera tra *n* e *m* si chiama **modulo di n rispetto a m** e si indica con :math:`n\text{ mod} m` . Esempi .. list-table:: Tabella22 :header-rows: 0 * - :math:`3 mod 0= non si può fare` - :math:`0 mod 5=0` * - :math:`9 mod 2=1` - :math:`10 mod 5=0` * - :math:`3 mod 5=3` - :math:`11 mod 5=1` #. Vero/falso .. multicols2 a. 5:0=0 V....F #. 0:5=0 V....F #. 5:5=0 V....F #. 1:0=1 V....F #. 0:1=0 V....F #. 0:0=0 V....F #. 1:1=1 V....F #. 1:5=1 V....F .. endmulticols #. Se è vero che :math:`p = n \times m` quali affermazioni sono vere? .. multicols2 a. p è multiplo di n V....F #. p è multiplo di m V....F #. m è multiplo di p V....F #. m è multiplo di n V....F #. p è divisibile per m V....F #. m è divisibile per n V....F #. p è divisore di m V....F #. n è divisore di m V....F .. endmulticols #. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? .. multicols2 a. 6 è un divisore di 3 V....F #. 3 è un divisore di 12 V....F #. 8 è un multiplo di 2 V....F #. 5 è divisibile per 10 V....F .. endmulticols #. Esegui le seguenti operazioni .. multicols2 a. 18 div 3= …… #. 18 mod 3 = ……. #. 20 div 3= …… #. 20 mod 3 = ……. #. 185 div 7= …… #. 185 mod 7 = ……. #. 97 div 5= …… #. 97 mod 5 = ……. #. 240 div 12= …… #. 240 mod 12 = ……. .. endmulticols Ripassiamo l'algoritmo della divisione intera per numeri a più cifre; questo algoritmi risulterà particolarmente utile per la divisone di polinomi che studierai nel seguito Esempi .. list-table:: Tabella53 :header-rows: 0 * - - 3 - 2 - 7 - 2 - 3 - - 1 - 3 - 2 - 9 - 1 - 0 - 7 - - 1 - 2 - 5 - 9 - 4 - 3 - 1 - 7 - 1 * - - 2 - 3 - - 1 - 4 - - 1 - 0 - 7 - - 1 - 2 - - - 1 - 1 - 9 - 7 - - - 7 - 3 - 6 * - - - 9 - 7 - - - - - 2 - 5 - 9 - - - - - - - 6 - 2 - 4 - - - - * - - - 8 - 6 - - - - - 2 - 1 - 4 - - - - - - - 5 - 1 - 3 - - - - * - - - 1 - 1 - - - - - - 4 - 5 - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 3 - - - * - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 0 - 2 - 6 - - - * - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 - 7 - - - 327 : 23 = quoziente 14 e resto 11 1329 : 107 = quoziente 12 e resto 45 125943 : 171 = quoziente 736 e resto 87 #. Esegui le seguenti divisioni con numeri a più cifre, senza usare la calcolatrice .. multicols4 #. 311 : 22 #. 429 : 37 #. 512 : 31 #. 629 : 43 #. 755 : 53 #. 894 : 61 #. 968 : 45 #. 991 : 13 #. 1232 : 123 #. 2324 : 107 #. 3435 : 201 #. 4457 : 96 #. 5567 : 297 #. 6743 : 311 #. 7879 : 201 #. 8967 : 44 #. 13455 : 198 #. 22334 : 212 #. 45647 : 721 #. 67649 : 128 .. endmulticols Proprietà delle operazioni nei numeri Naturali ---- Proprietà commutativa ^^^^ Una operazione gode dellaproprietà commutativa se, cambiando l'ordine dei numeri sui quali essa va eseguita, il risultato non cambia. La proprietà commutativa vale sia per l’addizione che per la moltiplicazione. .. list-table:: Tabella121 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Addizione - :math:`a + b = b + a` - :math:`3 + 5 = 8` e:math:`5 + 3 = 8` * - Moltiplicazione - :math:`a \cdot b = b \cdot a` - :math:`3 \cdot 5 = 15` e:math:`5 \cdot 3 = 15` La proprietà commutativa non vale per la sottrazione, la divisione, la divisione intera, il modulo e la potenza. .. list-table:: Tabella122 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Sottrazione - :math:`a - b \neq b - a` - :math:`8 - 3 = 5` :math:`3 - 8` non si può fare * - Divisione - :math:`a \div b \neq b \div a` - :math:`8 \div 4 = 2` :math:`4 \div 8` non si può fare * - Divisione intera - :math:`a\text{ div }b \neq b\text{ div } a` - :math:`17\text{ div }5 = 3` e :math:`5\text{ div }17 = 0` * - Resto (mod) - :math:`a modb \neq b mod a` - :math:`9 mod2 = 1` e :math:`2 mod9 = 4` * - Potenza - :math:`a^{ b} \neq b^{ a}` - :math:`3^{2} = 9` e :math:`2^{3} = 8` Proprietà associativa ^^^^ Un'operazione gode della proprietà associativase, presi arbitrariamente tre numeri legati da due operazioni, è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che si ottiene è sempre lo stesso. La proprietà associativa vale per l'addizione e la moltiplicazione .. list-table:: Tabella123 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Addizione - :math:`( a + b ) + c = a + ( b + c )` - :math:`( 3 + 5 ) + 2 = 8 + 2 = 10` e :math:`3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10` * - Moltiplicazione - :math:`( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c )` - :math:`( 3 \cdot 5 ) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30` e :math:`3 \cdot ( 5 \cdot 2 ) = 3 \cdot 10 = 30` La proprietà associativa non vale per la sottrazione, la divisione, la divisione intera, il modulo e la potenza. .. list-table:: Tabella124 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Sottrazione - :math:`( a - b ) - c = a - ( b - c )` - :math:`( 9 - 5 ) - 1 = 4 - 1 = 3` e :math:`9 - ( 5 - 1 ) = 8 - 4 = 5` * - Divisione - :math:`( a \div b ) \div c \neq a \div ( b \div c )` - :math:`( 18 \div 6 ) \div 2 = 3 \div 2 = 1` e - :math:`18 \div ( 6 \div 2 ) = 18 \div 3 = 6` * - Divisione intera - :math:`( a\text{ div } b )\text{ div }c \neq a\text{ div }( b\text{ div } c )` - e:math:`( 20\text{ div }6 )\text{ div }2 = 3\text{ div }2 = 1` - :math:`20\text{ div }( 6\text{ div }2 ) = 20\text{ div }3 = 6` * - Resto (mod) - :math:`( a mod b ) modc \neq a mod( b mod c )` - :math:`( 20 mod11 ) mod5 = 9 mod5 = 4` e - :math:`20 mod( 11 mod5 ) = 20 mod2 = 0` * - Potenza - :math:`\left( a^{ b} \right)^{ c} \neq a^{\left( b^{ c} \right)}` - :math:`\left( 2^{3} \right)^{4}8^{4} = 4096` e - :math:`2^{\left( 3^{4} \right)} = 2^{81} = 2417851639229258349412352` Elemento neutro ^^^^ Una operazione ha un elemento neutro se composto con qualsiasi altro numero lo lascia invariato, sia quando il numero è a destra, sia quando è a sinistra. L'elemento neutro dell'addizione è 0 e l'elemento neutro della moltiplicazione è 1: .. list-table:: Tabella77 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Addizione - :math:`a + 0 = 0 + a = a` - :math:`3 + 0 = 0 + 3 = 3` * - Moltiplicazione - :math:`a \cdot 1 = 1 \cdot a = a` - :math:`5 \cdot 1 = 1 \cdot 5 = 5` Le altre operazioni non hanno elemento neutro, ma hanno "l'elemento neutro a destra": .. list-table:: Tabella117 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - Sottrazione - :math:`a - 0 = a` - :math:`0 - a` non si può fare se :math:`a \neq 0` - :math:`8 - 0 = 8` - :math:`0 - 8 =` non si può fare * - Divisione - :math:`a \div 1 = a` - :math:`1 \div a` non si può fare se :math:`a \neq 1` - :math:`8 \div 1 = 8` :math:`1 \div 8` non si può fare * - Divisione intera - :math:`a\text{ div }1 = a` - :math:`1\text{ div }a = 0` se :math:`a \neq 0` e :math:`a \neq 1` - :math:`7\text{ div }1 = 7` e :math:`1\text{ div }7 = 0` * - Potenza - :math:`a^{1} = a` e :math:`1^{ a} = 1` - :math:`3^{1} = 3` e :math:`1^{3} = 1` L'operazione Resto (mod) non ha elemento neutro. Proprietà distributiva ^^^^ La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti. **Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e alla sottrazione.** Moltiplicare il risultato dell'addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra. Lo stesso vale per la sottrazione .. list-table:: Tabella118 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - con l'addizione - :math:`a \cdot ( b + c ) = a \cdot b + a \cdot c` - :math:`( b + c ) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a` - :math:`2 \cdot ( 3 + 4 ) = 2 \cdot 7 = 14` - :math:`2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14` * - con la sottrazione - :math:`a \cdot ( b - c ) = a \cdot b - a \cdot c` - :math:`( b - c ) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a` - :math:`3 \cdot ( 6 - 2 ) = 3 \cdot 4 = 12` - :math:`3 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 18 - 6 = 12` **Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione.** Moltiplicare il risultato dell'addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che dividere ogni addendo per il divisore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale solo se la somma è a sinistra. Lo stesso vale per la sottrazione .. list-table:: Tabella119 :header-rows: 1 * - Operazione - In simboli - Esempio * - con l'addizione - :math:`( b + c ) \div a = b \div a + c \div a` - :math:`( 6 + 4 ) \div 3 = 10 \div 2 = 5` - :math:`6 \div 2 + 4 \div 2 = 3 + 2 = 5` * - con la sottrazione - :math:`( b - c ) \div a = b \div a - c \div a` - :math:`( 15 - 3 ) \div 3 = 12 \div 3 = 4` - :math:`15 \div 3 - 3 \div 3 = 5 - 1 = 4` Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra. Esempio :math:`120 \div ( 3 + 5 )` Eseguendo prima l'operazione tra parentesi si ottiene correttamente :math:`120 \div 8 = 15` . Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene :math:`120 \div 3 + 120 \div 5 = 40 + 24 = 64` . Il risultato corretto è il primo. Proprietà distributiva della divisione rispetto la sottrazionesolo se la sottrazione è a sinistra: :math:`( a- b ) \div c= a \div c- b \div c` Esempi * :math:`( 20-10 ) \div 5=10 \div 5 =2` :math:`20 \div 5-10 \div 5=4 -2 =2` In questo caso la sottrazione è a sinistra :math:`120 \div ( 5 -3 ) =120 \div 2 =60` :math:`\neq` :math:`120 \div 5 -120 \div 3 =24 -40 =\text{ ...non si può fare}` In questo caso la sottrazione è a destra Legge di annullamento del prodotto ^^^^ Il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se almeno uno dei fattori è nullo. :math:`a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oppure} b = 0` #. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false indicando la proprietà utilizzata: #. 33 : 11 = 11 : 33 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. 108 – 72 : 9 = (108 – 72 ) : 9 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. 8 – 4 = 4-8 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. 35 · 10 = 10 · 35 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. 9 · ( 2 + 3 ) = 9 · 3 + 9 · 2 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. 80 – 52 + 36 = ( 20 – 13 + 9 ) · 4 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. ( 28 – 7 ) : 7 = 28 : 7 - 7 : 7 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. (8 · 1 ) : 2 = 8 : 2 V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. (8 - 2 ) + 3 = 8 - ( 2 + 3 ) V F proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #. Data la seguente operazione tra i numeri naturali :math:`a ° b = 2 \cdot a + 3 \cdot b` verifica se è a. commutativa, cioè se :math:`a ° b = b ° a` #. associativa, cioè se :math:`a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c` #. 0 è elemento neutro Potenza ---- La **potenza** di un numero naturale è una moltiplicazione particolare con tutti i fattori uguali. DEFINZIONE. Dati due numeri naturali *a* e *b*, con b>1 il primo detto **base**, il secondo **esponente**, la **potenza** di *a* con esponente *b* è il numero *p* che si ottiene moltiplicando fra loro b fattori tutti uguali ad *a*. Si scrive :math:`a^{ b} = p` e si legge “a elevato a b uguale a p”. .. figure:: ../images/immagini64.png :align: center :width: 6.35cm :height: 2.381cm Alla definizione precedente vanno aggiunti i seguenti casi particolari che completano la definizione: :math:`\begin{array}{l } a^{1} = a \\a^{0} = 1, se a\neq0 \\0^{0} non ha significato\end{array}` Proprietà delle potenze ^^^^ **1.**:math:`a^{ n}\cdot a^{ m}= a^{m + n}` Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Esempio::math:`2^{5}\cdot2^{6}=2 ^{5+6}=2 ^{11}` . La proprietà segue da questa osservazione: :math:`a^{ n}\cdot a^{ m}= ( \underset{n volte}{ \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} ) \cdot ( \underset{m volte}{ \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} ) = \underset{n + m volte}{ \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} = a^{n + m}` 2.:math:`a^{ n} \div a^{ m}= a^{n - m}` Il quoziente di due potenze con la stessa base, la prima con esponente maggiore o uguale all'esponente della seconda, è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Esempio: :math:`4^{5} \div 4^{3}=4^{5 - 3}=4^{2}` . La proprietà segue da questa osservazione: :math:`a^{ n} \div a^{ m} = \underset{n volte}{ \underbrace {( a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a )}} \div \underset{m volte}{ \underbrace {( a \cdot a \cdot \dots \cdot a )}}\overset{per la proprietà invariantiva della divisione}{ \overbrace {\text{ = }}}\underset{n volte}{ \underbrace {( a \div a ) \cdot ( a \div a ) \cdot \dots \cdot ( a \div a )}}\underset{n - m volte}{ \underbrace {a \cdot a \cdot a\dots a}} = a^{n - m}` 3. :math:`( a^{ n} )^{ m}= a^{n \cdot m}` La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha la base della prima potenza e per esponente il prodotto degli esponenti. Esempio: :math:`( 6^{2} )^{5}=6^{2 \cdot 5}=6^{10}` . La proprietà segue da questa osservazione: :math:`( a^{ n} )^{ m} = \underset{m volte}{ \underbrace {a^{ n} \cdot a^{ n} \cdot \dots \cdot a^{ n}}} = \underset{m volte}{ \underbrace {\underset{n volte}{ \underbrace {\left( a \cdot a \cdot \dots \cdot a \right)}} \cdot \underset{n volte}{ \underbrace {\left( a \cdot a \cdot \dots \cdot a \right)}} \cdot \dots \cdot \underset{n volte}{ \underbrace {\left( a \cdot a \cdot \dots \cdot a \right)}}}} = a^{n \cdot m}` 4.:math:`( a\cdot b )^{ n}= a^{ n}\cdot b^{ n}` Prodotto di potenze con lo stesso esponente. La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. Esempio: :math:`( 2\cdot5 )^{8}=2^{8}\cdot5^{8}` . La proprietà segue da questa osservazione: :math:`( a\cdot b )^{ n}= \underset{n volte}{ \underbrace {( a \cdot b ) \cdot ( a \cdot b )\dots \cdot ( a \cdot b )}} = ( \underset{n volte}{ \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} ) \cdot ( \underset{n volte}{ \underbrace {b \cdot b \cdot b \cdot \dots \cdot b}} ) = a^{ n} \cdot b^{ n}` 5. :math:`( a \div b )^{ n}= a^{ n} \div b^{ n}` La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze dei singoli fattori. Esempio:math:`( 4 \div 2 )^{8}=4^{8} \div 2^{8}` . #. Inserisci i numeri mancanti: .. multicols2 :math:`3^{1}\cdot3^{2}\cdot3^{3}=3^{\dots + \dots + ..}=3^{\dots}` :math:`3^{4} \div 3^{2}=3^{\dots - \dots}=3^{\dots}` :math:`( 3 \div 7 )^{5}=3^{\dots} \div 7^{\dots}` :math:`6 ^{3} \div 5 ^{3}=( 6 \div 5 )^{\dots}` :math:`7 ^{3}\cdot5 ^{3}\cdot2 ^{3}=( 7\cdot5\cdot2 )^{\dots}` :math:`( 2 ^{6} )^{2}=2 ^{( ..\cdot.. )}=2 ^{\dots}` :math:`( 18 ^{6} ) \div ( 9 ^{6} )=( ..... ) ^{.....}=2 ^{....}` :math:`( 5 ^{6}\cdot5 ^{4} ) ^{4} \div [ ( 5 ^{2} ) ^{3} ] ^{6}=.........=5 ^{....}` .. endmulticols #. Calcola applicando le proprietà delle potenze: .. multicols2 :math:`2 ^{5}\cdot2 ^{3} \div 2 ^{2}\cdot3 ^{6}` :math:`[ 6^{6} ]` #. :math:`( 5 ^{2} )^{3} \div 5 ^{3}\cdot5` :math:`[ 5^{4} ]` #. :math:`\left\{[ ( 2^{3} )^{2} \div 2^{3} ]^{3} \div 2^{5} \} \right . \div ( 2^{8} \div 2^{6} )^{2}` :math:`[ 1 ]` :math:`[ ( 2 ^{1} )^{4} \cdot3 ^{4} ]^{2} \div 6^{5} \cdot 6^{0}` :math:`[ 6^{3} ]` .. endmulticols #. Calcola: .. multicols2 #. :math:`[ ( 3^{6} \div 3^{4} )^{2} \cdot3 ^{2} ]^{1}` :math:`4^{4} \cdot ( 3^{4} + 4^{2} )` :math:`3^{4} \cdot ( 3^{4} + 4^{2} - 2^{2} )^{0} \div 3^{3} + 0 \cdot 100` .. endmulticols #. Completa applicando le proprietà delle potenze .. multicols2 :math:`7^{4} \cdot 7^{\dots} = 7^{5}` :math:`3^{9} \cdot 5^{9} = ( ...... )^{9}` :math:`5^{15} \div 5^{\dots} = 5^{5}` :math:`( ...... )^{6} \cdot 5^{6} = 15^{6}` #. :math:`8^{4} \div 2^{4} = 2^{\dots}` :math:`( 18^{5} \div 6^{5} )^{2} = 3^{\dots}` :math:`20^{7} \div 20^{0} = 20^{\dots}` :math:`( \dots^{3} )^{4} = 1` .. endmulticols #. Il risultato di :math:`3^{5} + 5^{3}` è .. multicols4 [A] 368 [B] :math:`( 3 + 5 )^{5}` [C] 15+15 [D] :math:`8^{8}` .. endmulticols #. Il risultato di :math:`( 73 + 27 )^{2}` è .. multicols4 [A] 200 [B] :math:`73^{2} + 27^{2}` [C] :math:`10^{4}` [D] 1000 .. endmulticols Numeri primi ---- Osserva il seguente schema .. figure:: ../images/immagini42.png :align: center :width: 8.123cm :height: 3.069cm In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6. DEFINIZIONE. Chiamiamo **divisore proprio** di un numero un divisore diverso dal numero stesso e dall'unità. Osserva ora il seguente schema .. figure:: ../images/immagini43.png :align: center :width: 8.123cm :height: 3.069cm Nella casella centrale grigia puoi inserire soltanto i numeri 31 o 1. DEFINIZIONI Un numero p > 1 si dice **primo** se è divisibile solo per se stesso e per l’unità. Un numero naturale maggiore di 1 si dice **composto** se non è primo. .. multicols3 0 non è primo né composto 1 non è primo né composto 2 è primo 3 è primo 4 è composto 5 è primo 6 è composto 7 è primo 8 è composto 9 è composto 10 è composto 11 è primo 12 è composto 13 è primo 14 ............ .. endmulticols #. Per ognuno dei seguenti numeri indica i divisori propri .. multicols2 a. 15 ha divisori propri …, …, ..., ... #. 19 ha divisori propri …, …, ..., ... #. 24 ha divisori propri …, …, …, ... #. 30 ha divisori propri …, …, …, ... .. endmulticols Esempi :math:`10=2\cdot5` :math:`30=3\cdot10=3\cdot2\cdot5` :math:`48=16\cdot3=2 ^{4}\cdot3` Ma quanti sono i numeri primi? La risposta a questa domanda venne data da Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome: TEOREMA DI EUCLIDE.I numeri primi sono infiniti. Euclide infatti ci ha fatto vedere come sia possibile costruire numeri primi comunque grandi, dato un numero primo infatti è sempre possibile costruirne uno più grande. .. figure:: ../images/immagini2.png :align: right :width: 7.83cm :height: 7.565cm * Crivello di Eratostene*. Nella tabella che segue sono rappresentati i numeri naturali fino a 100. Per trovare i numeri primi, seleziona 1 e 2, poi cancella tutti i multipli di 2. Seleziona il 3 e cancella i multipli di 3. Seleziona il primo dei numeri che non è stato cancellato, il 5, e cancella tutti i multipli di 5. Procedi in questo modo fino alla fine della tabella. Quali sono i numeri primi minori di 100? **Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra 2 e la radice quadrata del numero.** Esempi * Per verificare se 31 è primo calcolo il valore approssimato :math:`\sqrt{31} \simeq 5,5` e verifico se è divisibile per i numeri primi :math:`\leqslant 5` , cioè 2, 3, 5. Allora 31 è primo, in quanto non è divisibile per 2 in quanto è dispari, non è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 4 e 4 non è divisibile per 3, non è divisibile per 5 in quanto non finisce per 0 o 5. * Per verificare se 59 è un numero primo calcolo :math:`\sqrt{59} \simeq 7,6` e verifico se 59 è divisibile per un numero primo :math:`\leqslant 7` , cioè per 2, 3, 5, 7. Eseguendo le divisioni si vede che 59 non è divisibile per nessuno dei numeri precedenti, quindi è primo. Criteri di divisibilità ---- Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità. **Divisibilità per 2: un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.** * 1236 finisce per 6 quindi è divisibile per 2. * 109230 finisce per 0 quindi è divisibile per 2. * 10923 finisce per 3 quindi non è divisibile per 2. * 2221 finisce per 1 quindi non è divisibile per 2 **Divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3.** * 24 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 2+4 = 6, dato che 6 è divisibile per 3 anche 24 è divisibile per 3. * 1236 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 1+2+3+6 = 12; 12 è divisibile per 3 dato che la somma delle sue cifre è 1+2 = 3, quindi anche 1236 è divisibile per 3. * 31 non è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 3+1 = 4, dato che 4 non è divisibile per 3 neanche 31 è divisibile per 3. * 2363 non è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 2+3+6+3 = 14; 14 non è divisibile per 3 dato che la somma delle sue cifre è 1+4 = 5, quindi anche 2363 non è divisibile per 3. **Divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 .** * 1230 finisce per 0 quindi è divisibile per 5 * 59235 finisce per 5 quindi è divisibile per 5 * 109253 finisce per 3 quindi non è divisibile per 5 * 5556 finisce per 6 quindi non è divisibile per 5. **Divisibilità per 7: un numero (maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza (in valore assoluto) fra il numero ottenuto togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 7 o un multiplo di 7.** 252 è divisibile per 7, infatti:math:`\left\lvert 25-2 \cdot 2 \right\rvert =21` è multiplo di 7. 49 è divisibile per 7, infatti:math:`\left\lvert 4-2 \cdot 9 \right\rvert =14` è multiplo di 7. 31 non è divisibile per 7, infatti:math:`\left\lvert 3-2 \cdot 1 \right\rvert =1` non è multiplo di 7. 887 non è divisibile per 7, infatti:math:`\left\lvert 88-2 \cdot7 \right\rvert =74` non è divisibile per 7. **Divisibilità per 11: un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 , 11 o un multiplo di 11.** 253 è divisibile per 11, infatti:math:`\left\lvert 5- ( 2 + 3 ) \right\rvert =0` . 9482 è divisibile per 11, infatti:math:`\left\lvert ( 9 + 8 )-( 4 + 2 ) \right\rvert =11` . 31 non è divisibile per 11, infatti:math:`\left\lvert 3-1 \right\rvert =2` . 887 non è divisibile per 11, infatti :math:`\left\lvert 8-( 8 + 7 ) \right\rvert =7` . #. Per quali numeri sono divisibili seguenti numeri? Segnali con una crocetta .. multicols2 a. 84 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 2344 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 1320 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 1255 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 165 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 720 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 792 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 #. 462 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 .. endmulticols #. Determina tutti i divisori di .. multicols2 a. 32 …, …, …, …, …, …, …, … #. 18 …, …, …, …, …, …, …, … #. 24 …, …, …, …, …, …, …, … #. 36 …, …, …, …, …, …, …, ... .. endmulticols Scomporre in fattori primi ---- Possiamo pensare di scrivere un numero naturale qualsiasi come prodotto di altri numeri. Scomporre in fattori un numero significa appunto scriverlo come prodotto di altri numeri naturali. #. I numeri sotto elencati sono scritti come prodotto di altri numeri: sottolinea le scritture in cui ciascun numero è scomposto in fattori primi. .. multicols2 :math:`68 = 17 \cdot 4 = 17 \cdot 2^{2} = 2 \cdot 34` :math:`45 = 5 \cdot 9 = 15 \cdot 3 = 5 \cdot 3^{2}` :math:`36 = 6 \cdot 6 = 6^{2}` :math:`44 = 2 \cdot 22 = 4 \cdot 11 = 2^{2} \cdot 11` :math:`17 = 17 \cdot 1` :math:`48 = 6 \cdot 8 = 12 \cdot 4 = 3 \cdot 2^{4} = 16 \cdot 3` :math:`60 = 2 \cdot 30 = 15 \cdot 4 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 10 \cdot 6 = 20 \cdot 3` :math:`102 = 6 \cdot 17 = 3 \cdot 34 = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2 \cdot 51` :math:`200 = 2 \cdot 10^{2} = 2^{3} \cdot 5^{2} = 2 \cdot 4 \cdot 25 = 2^{2} \cdot 50` :math:`380 = 19 \cdot 10 \cdot 2 = 19 \cdot 5 \cdot 2^{2}` .. endmulticols #. *Rispondi alle domande:* a. Ci può essere più di una scomposizione in fattori di un numero? #. Ci può essere più di una scomposizione in fattori primi di un numero? #. Quando un numero è scomposto in fattori primi? TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA. **Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.** Esempio Scomporre in fattori primi il numero 630. .. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}line630 2 630 è divisibile per 2 perché l'ultima cifra è pari 315 3 315 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 9 divisibile per 3 105 3 105 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 6 divisibile per 3 35 5 35 è divisibile per 5 perché l'ultima cifra è 5 7 7 1 :math:`630=2\cdot3^{2}\cdot5\cdot7` In generale, quindi, un numero può essere scomposto in fattori in più modi. Per esempio, :math:`12 = 3 \cdot 4` , ma anche :math:`12 = 6 \cdot 2` . Il teorema appena enunciato ci assicura che, se si scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell'ordine con cui si scrivono i fattori. Tornando all'esempio precedente :math:`12 = 2^{2} \cdot 3` è l'unico modo in cui il 12 si può scomporre in fattori primi, a meno che non si scambiano di posto i fattori :math:`12 = 3 \cdot 2^{2}` . #. Descrivi brevemente la differenza tra le seguenti frasi: “a e b sono due numeri primi”, “a e b sono due numeri primi tra di loro” Fai degli esempi che mettano in evidenza la differenza tra le due osservazioni. #. Scomponi i seguenti numeri in fattori primi: .. list-table:: Tabella66 :header-rows: 0 * - 16 - 18 - 24 - 30 - 32 - 36 - 40 * - 42 - 48 - 52 - 60 - 72 - 81 - 105 * - 120 - 135 - 180 - 225 - 525 - 360 - 675 * - 715 - 1900 - 1078 - 4050 - 4536 - 12150 - 15246 * - 85050 - 138600 - 234000 - 255000 - 293760 - 550800 - 663552 Alcuni risultati: :math:`525 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 7` ; :math:`1078 = 2 \cdot 7^{2} \cdot 11` ; :math:`4050 = 2 \cdot 3^{4} \cdot 5^{2}` ; :math:`4536 = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7` ; :math:`12150 = 2 \cdot 3^{5} \cdot 5^{2}` ; :math:`15246 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 11^{2}` ; :math:`15246 = 2 \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7` ; :math:`85050 = 2 \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7` ; :math:`138600 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11` ; :math:`234000 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 13` ; :math:`255000 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{4} \cdot 17` ; :math:`293760 = 2^{7} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 17` ; :math:`550800 =2^{4} \cdot3^{4} \cdot5^{2} \cdot17` ; :math:`663552 =2^{13} \cdot3^{4}` Massimo comune divisore e minimo comune multiplo ---- DEFINIZIONE: Il **massimo comune divisore** di numeri naturali *a* e *b*, si indica con **MCD(a,b),** è il più grande tra tutti i divisori comuni ad *a* e *b*. Esempio Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 12 si ottiene prendendo tutti i divisori di 18 e 12 .. list-table:: Tabella125 :header-rows: 0 * - divisori di 18: - 18 - 9 - **6** - 3 - **2** - **1** * - divisori di 12: - 12 - **6** - 4 - **2** - **1** - I divisori comuni sono 6, 2, 1. Il più grande dei divisori comuni è 6. #. Applicando la definizione trova il M.C.D. tra i numeri 54 e 132. Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente **Procedura per calcolare il M.C.D. di due o più numeri naturali ** #. si scompongono i numeri in fattori primi #. si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente. Esempi * Calcolare MCD( 60, 48, 36) si scompongono in fattori i singoli numeri:math:`60=2 ^{2}\cdot3\cdot5` **, **:math:`48=2 ^{4}\cdot3` **, **:math:`36=2 ^{2}\cdot3 ^{2}` * I fattori comuni sono 2 e 3, il 2 compare con l'esponente minimo 2; il 3 compare con esponente minimo 1. PertantoMCD( 60, 48, 36) = :math:`2^{2} \cdot3 = 12` * Calcolare MCD( 60, 120, 90) si scompongono in fattori i singoli numeri:math:`60=2 ^{2}\cdot3\cdot5` , :math:`120=2 ^{3}\cdot 3\cdot5` e :math:`90=2\cdot3 ^{2}\cdot5` I fattori in comune sono 2, 3, 5. L'esponente minino è 1 per tutti, pertanto MCD( 60, 120, 90) = :math:`2\cdot3\cdot5 =30` DEFINIZIONE.Due numeri a e b si dicono primi tra loro o coprimi se MCD(a,b) = 1. Esempi * I numeri 12 e 25 sono primi tra loro infatti il MCD( 12, 25)= 1 dato che nelle loro scomposizioni in fattori non si hanno fattori comuni::math:`12=2 ^{2}\cdot3` e:math:`25=5 ^{2}` . * I numeri 35 e 16 sono primi tra loro. Infatti :math:`35 = 5 \times 7` , :math:`16 = 2^{4}` , i due numeri non hanno divisori comuni, il loro M.C.D. è 1. * I numeri 11, 19 sono primi tra loro infatti il MCD( 11, 19) = 1 dato che 11 e 19 sono numeri primi. * I numeri 12 e 15 non sono primi tra di loro in quando hanno 3 come divisore comune. DEFINIZIONE. Il **minimo comune multiplo** di due numeri naturali *a* e *b*, si indica con mcm(a,b), è il più piccolo tra tutti i multipli di *a* e di *b*. Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorre calcolare i primi multipli dei due numeri .. list-table:: Tabella120 :header-rows: 0 * - multipli di 6: - 6, - 12, - 18, - 24, - **30**, - 36, - 42, - 48, - 54, - **60**, ... * - multipli di 15: - 15, - **30**, - 45, - **60**, - 75, - 90, - ... - - - Sono multipli comuni 30, 60, 90, … Il più piccolo dei multipli comuni è 30. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente **Procedura per calcolare il m.c.m. di due o più numeri naturali** #. si scompongono i numeri in fattori primi #. si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente. Esempi * Calcolare il m.c.m.( 60, 48, 36). * Scomponendo in fattori i numeri si ha:math:`60=2 ^{2}\cdot3\cdot5` , :math:`48=2 ^{4}\cdot3` , :math:`36=2 ^{2}\cdot3 ^{2}` Tutti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l'esponente più grande con cui compaiono: 24, 32, 5. Il m.c.m. è:math:`2^{4} \cdot3^{2} \cdot5 =720` * Calcolare il m.c.m.( 20, 24, 450). * Scomponendo in fattori si ha:math:`20=2 ^{2}\cdot5` , :math:`24=2 ^{3}\cdot 3` , :math:`450=2\cdot3 ^{2}\cdot5^{2}` Moltiplicando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente si ha:math:`2^{3} \cdot3^{2} \cdot5^{2} = 1800` #. Calcola MCD e m.c.m. dei numeri 180, 72, 90 Scomponendo in fattori si ha:math:`180=2 ^{2}\cdot3^{2} \cdot5` **, **:math:`72=2 ^{3}\cdot3^{2}` **, **:math:`90=2\cdot3 ^{2}\cdot5` M.C.D **=**:math:`2 ^{\dots}\cdot3^{\dots}= \dots` =:math:`2 ^{\dots}\cdot3^{\dots}\cdot 5^{\dots} = \dots` #. Calcola m.c.m. e M.C.D. Tra i seguenti gruppi di numeri .. list-table:: Tabella65 :header-rows: 0 * - a) 6; 15 - R.(30;3) - 12; 50 - R.(300;2) - 1; 6; 10; 14 - R.(210;1) * - a) 15; 5; 10 - R.(5; 30) - 2; 4; 8 - R.(2; 8) - 2; 1; 4  - R.(1; 4) * - b) 5; 6; 8 - - 24; 12; 16 - - 6; 16; 26 - * - c) 6; 8; 12 - - 50; 120; 180 - - 20; 40; 60 - * - d) 16; 18; 32 - - 30; 60; 27 - - 45; 15; 35 - * - e) 6; 8; 10; 12 - - 30; 27; 45 - - 126; 180 - * - f) 24; 12; 16 - - 6; 4;10 - - 5; 4; 10 - * - g) 12; 14; 15 - - 3; 4; 5 - - 6; 8; 12 - * - h) 15; 18; 21 - - 12; 14; 15 - - 15; 18; 24 - * - i) 100; 120; 150 - R.(600;10) - 44; 66; 12 - R.(132;2) - 24; 14; 40 - R.(840; 2) Esempio *Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315 cm per 435 cm con mattonelle quadrate più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?* Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune tra 315 e 435. .. figure:: ../images/immagini70.png :align: center :width: 10.687cm :height: 3.81cm :math:`315 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7` :math:`435 = 3 \cdot 5 \cdot 29` :math:`M.C.D.( 315,435 ) = 3 \cdot 5 = 15` Le mattonelle devono avere il lato di 15cm. Ci vogliono :math:`435 \div 15 = 29` mattonelle per ricoprire il lato di 435cm e :math:`315 \div 15 = 21` mattonelle per ricoprire il lato da 315cm. In tutto occorrono :math:`29 \times 21 = 609` mattonelle. #. Tre funivie partono contemporaneamente da una stessa stazione sciistica. La prima compie il tragitto di andata e ritorno in 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la terza in 20. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme? [3h] #. Due aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Milano e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 15 giorni e il secondo ogni 18 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si troveranno di nuovo insieme a Milano? [90] #. Disponendo di 56 penne, 70 matite e 63 gomme. Quante confezioni uguali si possono fare? Come sarà composta ciascuna confezione? #. Una cometa passa in prossimità della Terra ogni 360 anni, una seconda ogni 240 anni e una terza ogni 750 anni. Se quest'anno sono state avvistate tutte e tre, fra quanti anni sarà possibile vederele di nuovo tutte e tre nello stesso anno? Espressioni numeriche ---- Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue. Per esempio “Luca ha detto Mario è stato promosso” può avere due significati diversi a seconda di come si inserisce la punteggiatura: scrivendo “Luca, ha detto Mario, è stato promosso” significa che è stato promosso Luca; scrivendo “Luca ha detto: Mario è stato promosso” significa che è stato promosso Mario. Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire dobbiamo chiarire l'ordine con cui si devono eseguire le operazioni. Per esempio l'espressione :math:`2 + 3 \cdot 4` può valere 14 se si esegue per prima la moltiplicazione, infatti :math:`2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14` ; può valere 20 se si esegue per prima l'addizione, infatti :math:`2 + 3 \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20` . Per eliminare queste ambiguità sono state fissate alcune regole. DEFINIZIONE. Un'**espressione aritmetica** è una successione di operazioni da eseguire su più numeri. I. Se un’espressione contiene solo addizioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, e ciò grazie alla proprietà associativa dell'addizione. * :math:`3 + 2 + 5= 5 + 5 = 10` si sono eseguite le operazioni nell'ordine in cui compaiono; * :math:`3 + 2 + 5= 3 + 7 = 10` è stata eseguita per prima l'ultima addizione. Il risultato è lo stesso. I. Se un’espressione contiene solo moltiplicazioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, grazie alla proprietà associativa della moltiplicazione. * :math:`2 \cdot 3 \cdot 4=6 \cdot 4=24` in questo caso si è seguito l'ordine in cui compaiono; * :math:`2 \cdot 3 \cdot 4=2 \cdot 12=24` in questo caso di è seguito l'ordine opposto. Il risultato è lo stesso. I. Se un’espressione, senza parentesi, contiene più sottrazioni, si deve procedere eseguendole nell’ordine in cui sono scritte, la sottrazione infatti non gode né della proprietà associativa né di quella commutativa. * :math:`10 - 6 - 3=4 - 3=1` eseguendo le sottrazioni nell'ordine con cui compaiono; * :math:`10 - 6 - 3=10 - 3=7` eseguendo le sottrazioni nell'ordine inverso il risultato è errato. I. Se un’espressione senza parentesi contiene solo addizioni e sottrazioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine con cui sono scritte. :math:`12 + 6 - 5 - 1=18 - 5 - 1=13 - 1=12` I. Se un’espressione senza parentesi contiene solo divisioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine con cui sono scritte. * Esempio :math:`360 \div 12 \div 3=30 \div 3=10` I. Se un’espressione senza parentesi contiene addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e potenze, si eseguono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, rispettando l’ordine con cui sono scritte, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l'ordine. * :math:`18 \div 2 \div 9 + 5^{2} - 2 \cdot 3^{2} \div 3 - 1` =:math:`18 \div 2 \div 9 + 25 - 2 \cdot 9 \div 3 - 1` =:math:`9 \div 9 + 25 - 18 \div 3 - 1` =:math:`1 + 25 - 6 - 1` =:math:`26 - 6 - 1` =:math:`20 - 1 = 19` I. Se l’espressione contiene una coppia di parentesi si devono eseguire prima le operazioni racchiuse nelle parentesi, rispettando le regole precedenti; si eliminano poi le parentesi e si ottiene un’espressione senza parentesi. * :math:`5 \cdot ( 4 + 3^{2} ) - 1` =:math:`5 \cdot ( 4 + 9 ) - 1` =:math:`5 \cdot 13 - 1` =:math:`65 - 1` =:math:`64` I. Se l’espressione contiene più ordini di parentesi, si eseguono per prima le operazioni racchiuse nelle parentesi tonde, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesi tonde e si procede con le operazioni racchiuse nelle parentesi quadre. Dopo aver eliminato le parentesi quadre, si eseguono le operazioni nelle parentesi graffe. Si ottiene così un’espressione senza parentesi. L’uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più semplice l’ordine da seguire nelle operazioni ma in un’espressione tutte le parentesi possono essere tonde. Ciò accade, per esempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice. #. *Quali delle seguenti scritture rappresentano numeri naturali?* .. multicols5 a. 5+3-1 #. 6+4-10 #. 5-6+1 #. 7+2-10 #. 2·5:5 #. 2·3:4 #. 3·4-12 #. 12:4-4 #. 11:3+2 #. 27:9:3 #. 18:2-9 #. *10-1:3* .. endmulticols #. *Calcola il risultato delle seguenti operazioni nei numeri naturali; alcune operazioni non sono possibili, individuale* .. multicols4 a. 5 : 5 *= * #. 5 : 0 = #. 1 × 5 = #. 1 – 1 = #. 10 : 2 = #. 0 : 5 = #. 5 ×1 = #. 0 : 0 = #. 10 : 5 = #. 1 : 5 = #. 0 ×5 =  #. 5 : 1 = #. 0 ×0 = #. 1 ×0 = #. 1:0 = #. *1:1 =* .. endmulticols #. Esegui le seguenti operazioni rispettando l'ordine .. multicols4 :math:`15 + 7 - 2` :math:`16 - 4 + 2` :math:`18 - 8 - 4` :math:`16 \times 2 - 2` :math:`12 - 2 \times 2` :math:`10 - 5 \times 2` :math:`20 \times 4 \div 5` :math:`16 \div 4 \times 2` :math:`2 + 2^{2} + 3` :math:`4 \times 2^{3} + 1` :math:`2^{4} \div 2 - 4` :math:`( 1 + 2 )^{3} - 2^{3}` :math:`( 3^{2} )^{3} - 3^{2}` :math:`2^{4} + 2^{3}` :math:`2^{3} \times 3^{2}` :math:`3^{3} \div 3^{2} \times 3^{2}` .. endmulticols #. Aggiungi le parentesi in modo che l'espressione abbia il risultato indicato #. :math:`2 + 5 \cdot3 + 2` R. 35 #. :math:`2 + 5 \cdot 3 + 2` R. 27 #. *Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi e calcola il risultato* #. Aggiungi 12 al prodotto tra 6 e 4. [36] #. Sottrai il prodotto tra 12 e 2 alla somma tra 15 e 27. [18] #. Moltiplica la differenza tra 16 e 7 con la somma tra 6 e 8. [126] #. Al doppio di 15 sottrai la somma dei prodotti di 3 con 6 e di 2 con 5... tab[2] #. Sottrai il prodotto di 6 per 4 al quoziente tra 100 e 2. [26] #. Moltiplica la differenza di 15 con 9 per la somma di 3 e 2. [30] #. Sottrai al triplo del prodotto di 6 e 2 il doppio del quoziente tra 16 e 4. #. Il quadrato della somma tra il quoziente intero di 25 e 7 e il cubo di 2 #. La somma tra il quadrato del quoziente intero di 25 e 7 e il quadrato del cubo di 2 #. La differenza tra il triplo del cubo di 5 e il doppio del quadrato di 5 *Calcola il valore delle seguenti espressioni* #. :math:`( 1 + 2 \cdot 3 ) \div ( 5 - 2 \cdot 2 ) + 1 + 2 \cdot 4` [16] #. :math:`( 18 - 3 \cdot 2 ) \div ( 16 - 3 \cdot 4 ) \cdot ( 2 \div 2 + 2 )` [9] #. :math:`2 + 2 \cdot 6 - [ 21 - ( 3 + 4 \cdot 3 \div 2 ) ] \div 2` [8] #. :math:`\left\{[ 15 - ( 5 \cdot 2 - 4 ) ] \cdot 2 \} \right . \div ( 30 \div 15 + 1 ) - \left\{[ 25 \cdot 4 ] \div 10 - ( 11 - 2 ) \} \right .` [5] #. :math:`[ 6 \cdot ( 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3 ) - 6 ] + \left\{3 \cdot ( 21 \div 7 - 2 ) \cdot [ ( 6 \cdot 5 ) \div 10 ] - 3 \cdot 2 \} \right .` [9] #. :math:`100 \div 2 + 3^{2} - 2^{2} \cdot 6` [35] #. :math:`2^{7} \div 2^{3} - 2^{2}` [12] #. :math:`30 - 5 \cdot 3 + 7 \cdot 2^{2} - 2` [41] #. :math:`( 3 + 4 )^{2} -( 3^{2} + 4^{2} )` [24] #. :math:`5 \cdot5^{3} \cdot5^{4} \div ( 5^{2} )^{3} + 5` [30] #. :math:`32^{5} \div 16^{4} -2^{9}` [0] #. :math:`[3^{0} + ( 2^{4} -2^{3} )^{2} \div ( 4^{3} \div 4^{2} ) + 3 ] \div ( 2^{6} \div 2^{4} )` [5] #. :math:`[( 4^{5} \div 4^{3} ) -2^{3} ] \cdot[( 3^{4} \cdot3^{3} ) \div ( 3^{2} \cdot3 ) ] \div ( 2^{2} + 2^{0} + 3^{1} )` [81] #. :math:`( 12 -5^{2} \div 5 ) \cdot4^{2} \div 2^{3} + 2^{2} -1 + [( 2^{4} \div 2^{3} )^{3} + 4^{3} \div 4 + 2^{5} ] \div 7` [25] #. :math:`( 5^{2} \cdot2^{2} -( 2^{5} -2^{5} \div ( 2^{2} \cdot3 + 4^{2} \div 4 ) + 2^{3} \cdot( 3^{2} -2^{2} ) ) ) \div ( 3 \cdot2 ) \cdot5` [25] #. :math:`( 3^{4} \cdot3^{3} \div 3^{6} )^{2} + ( 7^{2} -5^{2} ) \div 2^{2}` [15] #. :math:`( 3 \cdot2^{2} -10 )^{4} \cdot( 3^{3} + 2^{3} ) \div 7 -10 \cdot2^{3}` [0] #. :math:`( 195 \div 15 ) \cdot\{[3^{2} \cdot6 + 3^{2} \cdot4^{2} -5 \cdot( 6 -1 )^{2} ] \} \div ( 4^{2} -3 )` [73] #. :math:`5 + [( 16 \div 8 ) \cdot3 + ( 10 \div 5 ) \cdot3 ] \cdot( 2^{3} \cdot5 -1 )^{2} -[( 3 \cdot10 ) \div 6 -1 ]` [18253] #. :math:`[4 \cdot( 3 \cdot2 -3 \cdot1^{2} ) -5 ] -\{2 \cdot( 14 \div 7 + 4 ) \div [2 \cdot( 3 + 2 )^{2} \div 10 + 1 -4^{2} \div 8 ] \}` [4] #. *Risolvi i seguenti problemi* .. multicols2 #. Un'automobile percorre 18km con 1 litro di benzina. Quanta benzina deve aggiungere il proprietario dell'auto sapendo che l'auto ha già 12 litri di benzina nel serbatoio, che deve intraprendere un viaggio di 432km e che deve arrivare a destinazione con 4 litri di benzina nel serbatoio? #. Alla cartoleria presso la scuola una penna costa 10 centesimi più di una matita. Gianni ha comprato 2 penne e 3 matite e ha speso 17 euro. Quanto spenderà Marco che ha comprato 1 penna e 2 matite? #. In una città tutte le linee della metropolitana iniziano il loro servizio alla stessa ora. La linea rossa fa una corsa ogni 15 minuti, la linea gialla ogni 20 minuti e la linea blu ogni 30 minuti. Salvo ritardi, ogni quanti minuti le tre linee partono allo stesso momento? #. Tre negozi si trovano sotto lo stesso porticato, ciascuno ha un'insegna luminosa intermittente: la prima si spegne ogni 6 secondi, la seconda ogni 5 secondi, la terza ogni 7 secondi. Se le insegne vengono accese contemporaneamente alle 19.00 e spente contemporaneamente alle 21.00, quante volte durante la serata le tre insegne si spegneranno contemporaneamente? #. In una gita scolastica ogni insegnante accompagna un gruppo di 12 studenti. Se alla gita partecipano 132 studenti, quanti insegnanti occorrono? #. Un palazzo è costituito a 4 piani con 2 appartamenti per ogni piano. Se ogni appartamento ha 6 finestre con 4 vetri ciascuna, quanti vetri ha il palazzo? .. endmulticols #. *Spiega brevemente il significato delle seguenti parole* a. numero primo #. numero dispari #. multiplo #. cifra #. *Rispondi brevemente alle seguenti domande* a. Cosa vuol dire scomporre in fattori un numero? #. Ci può essere più di una scomposizione in fattori di un numero? #. Cosa vuol dire scomporre in fattori primi un numero?