Frazioni e numeri razionali¶

Premessa storica¶

Quando si deve dividere una certa grandezza o totalità in un certo numero di parti uguali non sempre sono sufficienti i numeri interi per rappresentare il risultato della divisione. Per esempio, per dividere l’unità in due parti uguali i numeri interi non sono sufficienti.

Gli antichi hanno affrontato questo tipo di problema utilizzando varie scritture per rappresentare le parti in cui dividere l’unità, ossia le frazioni.

I Babilonesi scrivevano frazioni aventi come denominatore una potenza di 60, la base della loro numerazione; tuttavia non usavano una notazione specifica per le frazioni, ad esempio il simbolo |immagini22|rappresentava sia il numero 20 sia la frazione 20/60, il valore corretto andava interpretato dal contesto.

Gli Egizi facevano largo uso dei numeri frazionari che rappresentavano come somme di frazioni unitarie, ossia frazioni con numeratore uno. La frazione unitaria $\frac{1}{ n}$ (con n numero naturale diverso da zero) veniva rappresentata in forma geroglifica ponendo il denominatore n scritto con la normale rappresentazione del numero n sotto ad un ovale. La frazione $\frac{1}{12}$ , per esempio, veniva così rappresentata immagini23 .

Nel papiro di Ahmes (detto anche papiro di Rhind) troviamo una tabella che dà la scomposizione in frazioni unitarie delle frazioni del tipo $\frac{2}{ n}$ con n dispari: la frazione $\frac{2}{43}$

è rappresentata come somma di frazioni unitarie nel seguente modo:

$\frac{2}{43} = \frac{1}{42} + \frac{1}{86} + \frac{1}{129} + \frac{1}{301}$ .

Alcune unità frazionarie più comuni venivano indicate con le parti dell’occhio di Horus; secondo la leggenda Horus, nella lotta contro lo zio Seth, reo di avergli ucciso il padre, perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte.

I Romani fecero poco uso dei numeri frazionari; si limitarono a considerare le parti delle misure in uso che venivano divise in 12, 24, 36, 48… Avevano pertanto simboli e nomi particolari per indicare alcune frazioni: semis per indicare $\frac{1}{2}$ il cui simbolo era S oppure Ζ; sextans per indicare 1/6, dracma per indicare 1/96 e obolus per indicare la sesta parte della dracma.

Furono gli arabi a introdurre l’attuale scrittura delle frazioni e i termini “numeratore” e “denominatore”.

La notazione attuale per le frazioni si deve sostanzialmente agli arabi, in Europa fu diffusa da Leonardo Pisano (Fibonacci) che con il suo “Liber Abaci” (1202) scrive e opera con le frazioni come oggi le conosciamo.

Frazioni¶

DEFINIZIONE. Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali in cui il primo si chiama numeratore e il secondo denominatore. Il denominatore deve essere diverso da zero.

Quando si chiede, per esempio un quarto di litro di latte, $\frac{1}{4}$ l, si danno le informazioni su come operare sulla grandezza unitaria litro per ottenere la quantità desiderata. Le frazioni possono essere viste come operatori che si applicano a una grandezza fissata, considerata come l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e omogenea alla prima.

Una frazione con numeratore uguale a 1 è detta frazione unitaria; indicata con a una grandezza (segmento, peso, superficie, angolo...) la scrittura $\frac{1}{ n} A$ sta ad indicare l’operazione di divisione della grandezza A, intesa come “il tutto”, in n parti uguali.

Nella figura, il segmento unitario da 0 a 1 è stato diviso in due parti uguali ottenendo la frazione $\frac{1}{2}$ ; dividendolo in quattro parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{4}$ ; dividendolo in otto parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{8}$ ; dividendolo in sedici parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{16}$ .

DEFINIZIONE. Il denominatore di una frazione è quel numero che indica in quante parti uguali si è diviso l’intero, poiché non ha senso dividere un intero in zero parti, il denominatore deve essere diverso da zero.

Vediamo un altro esempio... Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}g.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:drawing:1.0}custom-shape Il quadrato Q della figura è stato diviso in quattro parti uguali e una parte è stata colorata di grigio; questa parte viene indicata con la frazione unitaria $\frac{1}{4} Q$ .

Un frazione $\frac{1}{ n} A$ significa l’ennesima parte di A, dove A è il tutto che si deve dividere in n parti uguali. In altre parole, A si può ottenere moltiplicando per n la *frazione * $\frac{1}{ n} A$ .

Partendo da $\frac{1}{ n} A$ si possono considerare i suoi multipli interi: $\frac{2}{ n} A , \frac{3}{ n} A , \ldots , \frac{ n}{ n} A$ , che rappresentano il doppio di un ennesimo, il triplo di un ennesimo… l’intera grandezza A*.*

Riferendoci all’esempio del quadrato

immagini75

La frazione $\frac{ m}{ n} A$ (si legge emme ennesimi di A) con m < n indica il multiplo secondo *m *della frazione unitaria:math:frac{1}{ n} A

essa indica la grandezza che si ottiene dividendo A in n parti uguali e

prendendone m.

DEFINIZIONE. Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante parti, dell’intero suddiviso in parti secondo il denominatore, sono state prese.

Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore, quest’ultimo si legge come numero ordinale ( terzo, quarto, quinto, …) fino a 10, se è maggiore di dieci si aggiunge la terminazione “esimo”.

Esempi

Tabella127
$\frac{1}{2}$ si legge “un mezzo”;	$\frac{2}{3}$ si legge “due terzi”;	$\frac{5}{7}$ si legge “cinque settimi”;
$\frac{1}{10}$ si legge “un decimo”;	$\frac{1}{11}$ “un undicesimo”	$\frac{1}{12}$ “un dodicesimo”

A volte per scrivere le frazioni si utilizza la scrittura del tipo a/b, quindi 2/3; 4/6; 6/9...

DEFINIZIONE. Si chiamano proprie le frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore. Esse rappresentano sempre una grandezza minore dell’intero.

Vi sono frazioni che pur essendo formate da numeratori e denominatori diversi rappresentano la stessa parte dell’intero.

Da un cartoncino rettangolare quadrettato di lati rispettivamente 5 unità e 8 unità viene ritagliata la forma colorata in grigio, come mostrato nella figura.

Quale delle seguenti espressioni ti sembra più corretta per esprimere la relazione tra il cartoncino e la forma ritagliata?

[A] “La forma ottenuta è più piccola del cartoncino.”

[B] “La forma ottenuta è un poligono con un numero maggiore di lati rispetto al cartoncino dato.”

[C] “La forma ottenuta rappresenta i 12/40 del cartoncino.”

Sbaglio se affermo che la parte colorata è i 3/10 del cartoncino?

Il monte-premi di una lotteria è di 50.000 €; il primo premio è di 25.000 €, il secondo di 10.000 €, il terzo di 5.000 €, il quarto di 4.000 €, il quinto e il sesto premio sono uguali.

Nella figura un quadretto rappresenta 1.000 €

Colora con colori diversi i quadretti quanti servono per rappresentare i sei premi, un colore per ogni premio.
Quale parte del monte-premi è stata incassata da chi ha vinto il secondo premio? Esprimi questa parte con una frazione.
Marco ha vinto il sesto premio: quanto ha vinto?

La figura seguente è composta da 11 quadratini, alcuni bianchi altri grigi. Completa:

La figura è divisa in due parti mediante la colorazione: la parte grigia rappresenta .......... dell’intera figura, mentre la parte bianca ne è ...............

Di ciascuna figura colora la parte indicata dalla frazione .. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-break

DEFINIZIONE. Si dicono equivalenti due frazioni che rappresentano la stessa parte dell’intero.

PROPRIETA’ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI. Se si moltiplica, o si divide, numeratore e denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente alla frazione data.

Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente moltiplicare per uno stesso numero il numeratore e il denominatore della frazione assegnata.

Esempio

*Trovare due frazioni equivalenti a * $\frac{4}{7}$ .

Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 si ha la frazione equivalente $\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14}$ .

Moltiplicando numeratore e denominatore per 3 si ha la frazione equivalente $\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$ .

DEFINIZIONE. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono due interi primi tra loro.

Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.

Esempio

Ridurre ai minimi termini la frazione *:math:`frac{8}{12}` *.

Scompongo in fattori 8 e 12, ottengo 8=23 e 12=3·22; calcolo il M.C.D. prendendo i fattori comuni con l’esponente più piccolo, in questo caso 22 cioè 4; divido numeratore e denominatore per 4:

$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$ .

Tutte le frazioni che hanno il denominatore (numero di parti in cui va divisa l’unità) uguale al numeratore (numero delle parti che vanno considerate) rappresentano l’intero:

$\frac{2}{2}=\frac{3}{3}=\frac{10}{10}=1$

Per esempio, se divido un quadrato in due parti uguali e ne prendo due parti ottengo l’intero; se divido un quadrato in tre parti uguali e ne prendo tre parti ottengo l’intero, ...

|immagini41| $\frac{2}{2} = 1$ immagini57 $\frac{3}{3} = 1$ .

Cosa significa costruire la grandezza $\frac{6}{2}$

del quadrato ? Costruisci il disego.

Tutte le frazioni che hanno il numeratoreè multiplo del denominatore rappresentano un multiplo dell’intero:

$\frac{6}{2}=3 ; \frac{15}{3}=5 ; \frac{72}{6}=12$

DEFINIZIONE. Si chiamano apparenti le frazioni che hanno il numeratore multiplo del denominatore; esse rappresentano una grandezza multipla di quella presa come intero unitario.

Le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore rappresentano grandezze più grandi dell’intero. Infatti le parti da considerare (indicate dal numeratore) sono di più delle parti in cui è divisa l’unità (indicate dal denominatore).

Per esempio $\frac{5}{4}$: di si ottiene dividendo il quadrato in 4 parti uguali |immagini26|

e prendendone 5, si ha immagini27 . La grandezza ottenuta è formata da $\frac{4}{4}$

con l’aggiunta di $\frac{1}{4}$

. Cioè $\frac{5}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

DEFINIZIONE. Si chiamano improprie le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore; esse rappresentano una grandezza maggiore della grandezza assegnata come intero.

Indica se queste frazioni sono proprie [P], improprie [I] o apparenti [A]
1. $\frac{3}{4}$ [P] [I] [A]
$\frac{8}{3}$ [P] [I] [A]

$\frac{12}{3}$ [P] [I] [A]

$\frac{5}{2}$ [P] [I] [A]

$\frac{5}{3}$ [P] [I] [A]

$\frac{3}{2}$ [P] [I] [A]
Trova le frazioni equivalenti completando

$\frac{3}{4}=\frac{\dots}{12}$

$\frac{12}{16}=\frac{3}{\dots}$

$\frac{5}{2}=\frac{\dots}{10}$

$\frac{21}{35}=\frac{\dots}{5}$
Indica almeno tre frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti

Tabella100
$\frac{5}{6}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{12}{60}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{2}$

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni

Tabella101
$\frac{4}{6}$	$\frac{8}{2}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{18}{16}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{6}{20}$
$\frac{80}{100}$	$\frac{8}{12}$	$\frac{9}{6}$	$\frac{10}{15}$	$\frac{14}{49}$	$\frac{15}{21}$
$\frac{16}{6}$	$\frac{18}{15}$	$\frac{20}{12}$	$\frac{21}{9}$	$\frac{24}{30}$	$\frac{25}{15}$
$\frac{27}{21}$	$\frac{28}{14}$	$\frac{30}{16}$	$\frac{32}{24}$	$\frac{35}{10}$	$\frac{36}{81}$
$\frac{40}{6}$	$\frac{42}{21}$	$\frac{45}{27}$	$\frac{48}{60}$	$\frac{12}{30}$	$\frac{135}{77}$
$\frac{121}{22}$	$\frac{87}{99}$	$\frac{15}{360}$	$\frac{110}{30}$	$\frac{240}{75}$	$\frac{140}{294}$

Nella figura che segue il quadratino colorato rappresenta 1/4 del quadrato grande; costruisci una figura che rappresenti 8/4 del quadrato grande accostando opportunamente altri quadrati uguali .
La parte colorata in grigio della figura corrisponde a $\frac{1}{5}$

della figura stessa?
Costruisci una figura che corrisponde a $\frac{11}{6}$

della figura .
Per ciascuno dei seguenti disegni la parte colorata in grigio rappresenta sempre la frazione $\frac{3}{4}$

del quadrato bianco?

immagini30

Il segmento nel disegno rappresenta i 3/5 dell’intero. Ti basta questa informazione per costruire l’intero? Come procederesti?

immagini311

Disegna un segmento come grandezza unitaria e dimostra che la frazione 3/5 è equivalente a 6/10 ma non a 9/25.
Usando una grandezza unitaria arbitraria, stabilisci quale delle seguenti frazioni rappresenta l’intero e quale un suo multiplo:

Tabella128
$\frac{2}{4}$	$\frac{6}{3}$	$\frac{5}{5}$	$\frac{8}{4}$	$\frac{9}{4}$

Dalle frazioni ai numeri razionali¶

Come abbiamo visto, ci sono delle frazioni che, pur essendo diverse tra di loro, rappresentano la stessa parte dell’intero: queste frazioni vengono chiamate “frazioni equivalenti”. Possiamo formare dei raggruppamenti di frazioni tra loro equivalenti, come nel disegno.

immagini8

DEFINIZIONE. Ogni raggruppamento di frazioni equivalenti è definito come un numero razionale assoluto ed è rappresentato da una qualunque frazione del raggruppamento; solitamente si sceglie la frazione ridotta ai minimi termini.

Nell’ esempio $\frac{2}{3}$ è il numero razionale rappresentante del raggruppamento $\left\{ \frac{2}{3} , \frac{4}{6} , \frac{6}{9} , \frac{10}{15} , \frac{14}{21} , \ldots \right\}$

In questo modo abbiamo dato al simbolo a/b un nuovo significato, quello di numero e come tale la scrittura a/b rappresenta il quoziente indicato tra i due numeri naturali a e b. Scriveremo 2:3= 2/3

DEFINIZIONE. Un numero razionale assoluto preceduto dal segno è detto numero razionale. L’insieme dei numeri razionali relativi si indica con il simbolo $\mathbb{Q}$ .

Il segno del numero razionale relativo è quello che si ottiene dalla regola della divisione dei segni tra numeratore e denominatore.

Esempi

$\frac{- 2}{- 3}= + \frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{- 3}= - \frac{2}{3}$ ; $\frac{- 2}{3}= - \frac{2}{3}$ .

Le frazioni proprie, che hanno numeratore minore del denominatore, rappresentano sempre un numero compreso tra 0 e 1.

Le frazioni improprie, che hanno numeratore maggiore del denominatore, si possono scrivere come somma di un numero naturale e di una frazione propria:

il numero naturale è il risultato della divisione intera tra numeratore e denominatore;
il numeratore della frazione unitaria è il resto della divisione tra numeratore e denominatore;
il denominatore della frazione unitaria è il denominatore stesso della frazione.

Esempi

$\frac{11}{3}$: osserva che 11:3 = 3 con resto di 2, quindi :math:`frac{11}{3} =3 +

frac{2}{3}`

$\frac{19}{7}$ osserva che 19:7= 2 con resto di 5, quindi $\frac{19}{7} =2 + \frac{5}{7}$

Le frazioni apparenti, del tipo $\frac{2}{2} ; \frac{6}{3} ; \frac{20}{5} ; \frac{12}{4} ; \frac{12}{3} ;\dots$ corrispondono a un numero intero, rispettivamente a 1, 2, 4, 3, 4.

Raggruppa le seguenti frazioni in insiemi di frazioni equivalenti. Etichetta l’insieme con un numero razionale, prendendo per ogni gruppo la frazione ridotta ai minimi termini

$\frac{1}{3} ; \frac{2}{4} ;- \frac{5}{2} ; \frac{6}{- 14} ; \frac{- 12}{4} ; \frac{3}{6} ; \frac{- 3}{- 9} ; \frac{10}{- 4} ; \frac{10}{20} ; \frac{- 18}{42} ; \frac{5}{15} ;- \frac{9}{21} ;- \frac{15}{6} ; \frac{4}{12}$

Riscrivi le seguenti frazioni improprie come somma di un numero naturale e una frazione propria.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0 }line-break:math:frac{10}{3} ; frac{17}{9} ; frac{11}{2} ; frac{25}{3} ; frac{17}{10} ; frac{15}{6}

La scrittura dei numeri razionali¶

I numeri razionali, rappresentati finora come frazioni, possono essere scritti come numeri decimali: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, il quoziente ottenuto è la rappresentazione della frazione sotto forma decimale.

|immagini121| immagini63

I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali finiti come $1,375$ e numeri decimali periodici come $1,333333333...$ , quest’ultimo si scrive mettendo un barra sulla parte periodica:math:1, overline {3} oppure racchiudendo la parte periodica tra parentesi tonde $1,( 3 )$ .

I numeri decimali finiti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come fattori solo il 2, solo il 5 o entrambi, eventualmente elevati a una potenza.

I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui denominatore non ha per fattori né 2 né 5.

I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5.

Esempi

Tabella129
$\frac{11}{8}=\frac{11}{2^{3}}=\frac{11 \cdot 5^{3}}{2^{3} \cdot 5^{3}}=\frac{1375}{1000}= 1,375$	$\frac{13}{40}=\frac{13}{2^{3} \cdot 5}=\frac{13 \cdot 5^{2}}{2^{3} \cdot 5^{3}}=\frac{325}{1000}= 0,325$
$\frac{7}{25}=\frac{7}{5^{2}}=\frac{7 \cdot 2^{2}}{5^{2} \cdot 2^{2}}=\frac{28}{100}= 0,28$	$\frac{50}{7} = \frac{\dots}{10}$ non è possibile

Senza eseguire le divisioni indica quali di queste frazioni possono essere scritte come numero decimale finito [DF], quali come numero decimale periodico [DP] e quali come numeri intero [I] :

$- \frac{3}{2}$ [DF] [DP] [I]

$- \frac{6}{5}$: [DF] [DP] [I]
$\frac{2}{25}$: [DF] [DP] [I]
$\frac{5}{8}$: [DF] [DP] [I]
$\frac{5}{6}$: [DF] [DP] [I]
$- \frac{5}{12}$: [DF] [DP] [I]

$\frac{12}{6}$

[DF] [DP] [I]
$\frac{5}{10}$

[DF] [DP] [I]

Procedura per trasformare una frazione in numero decimale

eseguire la divisione tra numeratore e denominatore;
se la divisione ha un resto mettere la virgola al quoziente e moltiplicare per 10 il resto;
continuare la divisione finché il resto è zero oppure fino a che non si trova un resto già trovato prima;
se la divisione si conclude con resto 0 si ottiene un numero decimale finito;
se la divisione si conclude perché si è ritrovato un resto ottenuto in precedenza si ottiene un numero decimale periodico.

Esempi

Viceversa un numero decimale finito o periodico può essere sempre scritto sotto forma di frazione.

Procedura per trasformare un numero decimale finito in una frazione

contare le cifre significative dopo la virgola
moltiplicare numeratore e denominatore per la potenza del 10 che ha esponente uguale al numero delle cifre significative dopo la virgola.

Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali finiti come frazioni particolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il denominatore uguale a 1.

1,360 ha due cifre significative dopo la virgola $\frac{1,36}{1}=\frac{1,36 \cdot10^{2}}{1 \cdot10^{2}}=\frac{136}{100}=\frac{34}{25}$

0,00043000 ha cinque cifre significative dopo la virgola $\frac{0,00043}{1}=\frac{0,00043 \cdot10^{5}}{1 \cdot10^{5}}=\frac{43}{100000}$

Un numero decimale periodico, generalmente, presenta tre elementi:

la parte intera, composta dalle cifre poste prima della virgola;
il periodo, che è composto da una o più cifre che si ripetono all’infinito dopo la virgola;
l’antiperiodo, la parte, talvolta assente, composta da una o più cifre poste tra la virgola e il periodo.

Per esempio, nel numero 253,485795795795795... la parte intera è 253, il periodo è 579, l’antiperiodo è 48.

Dato che il numero è infinito non può essere scritto con tutte le sue cifre, si usano due modi per scriverlo in forma compatta, mettendo una lineetta sopra le cifre del periodo o racchiudendo le cifre del periodo tra parentesi tonde.

Il numero 253,485795795795795... può essere scritto $253,48 \overline {579}$ , oppure $253,48( 579 )$ .

I numeri decimali periodici si dividono in:

semplici se subito dopo la virgola è presente il periodo $2, \overline {3}$
misti se dopo la virgola è presente l’antiperiodo $2,5 \overline {12}$

Anche i numeri periodi possono essere trasformati in una frazione, che si dice frazione generatrice del numero:

Procedura per determinare la frazione generatrice di un numero periodico

Scrivere il numero senza la virgola $\mathbf{2,5 \overline {12} \rightarrow 2512}$ ;
il numeratore della frazione si ottiene sottraendo dal numero senza la virgola il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo.. tab:math:mathbf{2512 -25=2487} ;

Il denominatore della frazione si ottiene scrivendo tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le eventuali cifre dell’antiperiodo: $\mathbf{2,5 \overline {12}=\frac{2487}{990}}$ .

Ma perché questa regola? Una possibile spiegazione

Consideriamo il numero periodico semplice $2, \overline {3}$ . Considero la frazione $\frac{2, \overline {3}}{1}$ moltiplico numeratore e denominatore per 10 $\frac{2,\overline {3} \cdot 10}{1 \cdot 10}$ e ottengo $\frac{23, \overline {3}}{10}$ ... Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line- breakL’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte decimale, per ottenere questo risultato tolgo $2, \overline {3}$

da $23, \overline {3}$

cioè $23, \overline {3}-2, \overline {3}=21$ .

Come mai $2, \overline {3}$ e non $1, \overline {3}$ o $0, \overline {3}$ ? Perché in questo modo posso sapere quanto vale il denominatore: se $23, \overline {3}$ è il risultato della moltiplicazione di $2, \overline {3}\cdot10$ , $21$

è il risultato della moltiplicazione di $2, \overline {3}\cdot9$

in quanto $21=23, \overline {3}-2, \overline {3}$ . In definitiva:math:2, overline {3}=frac{23 -2}{9}=frac{21}{9} =frac{7}{3} .

Possiamo usare lo stesso procedimento per il numero periodico misto. $2,5 \overline {12}$ .

Considero la frazione $\frac{2,5 \overline {12}}{1}$ moltiplico numeratore e denominatore per 1000 e ottengo: $\frac{2512, \overline {12}}{1000}$ L’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte decimale che contiene il periodo che si ripete all’infinito e per ottenere questo risultato tolgo da $2512, \overline {12}$ questa volta:math:25, overline {12} cioè $2512, \overline {12}-25, \overline {12}=2487$ . Per avere una frazione equivalente occorre che al denominatore abbia 990 in quanto dal numeratore ho tolto 10 volte $2,5 \overline {12}$ .

$2,5 \overline {12}=\frac{2512 - 25}{990}=\frac{2487}{990}$ .

Numeri periodici particolari

Numeri periodici particolari sono quelli che hanno come periodo il numero 9, come $2, \overline {9}$ , $1,1 \overline {9}$ , $21,22 \overline {9}$

ecc. Se, per esempio, applichiamo la regola per il calcolo della frazione

generatrice al numero periodico $2, \overline {9}$: otteniamo un risultato inatteso.

$2,\overline {9} = \frac{29 - 2}{9} = \frac{27}{9} = 3$

Quindi $2, \overline {9}$ coincide con il numero intero 3.

Per lo stesso motivo $1,1\overline {9} = 1,2$ , $21,22\overline {9} = 21,23$ .

Questo fatto si può anche dimostrare in modo grafico, rappresentando, ad esempio, il numero $0, \overline {9}$

e il numero 1 sulla retta reale.

Se i due numeri fossero veramente diversi sarebbero rappresentati da due punti distinti come in figura. Dato che la retta reale non può avere “buchi”, tra un suo punto e un altro ci deve essere almeno un altro numero compreso tra i due. Ma qual è questo numero? Qualunque numero decimale minore di 1 è sicuramente superato dal numero $0, \overline {9}$ , ad esempio 0,9999999998 è sicuramente più piccolo di $0, \overline {9}$ . Quindi non esiste nessun numero tra $0, \overline {9}$

e 1 , di conseguenza i due numeri coincidono.

Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali

Tabella78
a) $\frac{13}{2}$ =	$\frac{11}{3}$ =	$\frac{3}{5}$ =	$\frac{15}{6}$ =	$\frac{17}{7}$ =	$\frac{15}{8}$ =
b) $\frac{12}{9}$ =	$\frac{127}{10}$ =	$\frac{122}{11}$ =	$\frac{13}{12}$ =	$\frac{35}{121}$ =	$\frac{121}{35}$ =
c) $\frac{12}{10}$ =	$\frac{127}{100}$ =	$\frac{122}{1100}$ =	$\frac{13}{100}$ =	$\frac{35}{1000}$ =	$\frac{121}{10000}$ =
d) $\frac{12}{5}$ =	$\frac{13}{7}$ =	$\frac{15}{4}$ =	$\frac{5}{8}$ =	$\frac{32}{9}$ =	$\frac{21}{20}$
e) $\frac{37}{18}$ =	$\frac{2}{21}$ =	$\frac{16}{5}$

Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimali

12,5
4,2
6,25
3,75
0,1
12,5
12,3
1,13
2,25
3,24
4,75
5,21
100,100
0,12
1,1030
0,00100
100,001
0,0001
1,25
0,08
1,002
15,675
1,7
1,46
0,13
0,149
5,015
3,21
2,3
1,086

Alcuni risultati: 25/2; 21/5; 25/4; 15/4; 1/10; 25/2

Completa la tabella

Tabella58
Numero decimale	Parte intera	Parte decimale	periodo	antiperiodo	frazione
$1,7521$
$3, \overline {75}$
$12,1 \overline {24}$
$1,0 \overline {5}$
$0,13 \overline {57}$

Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.

$- 1,25$

$0,03$

$- 2, \overline {1}$

$0, \overline {13}$

$5,080$

$3,7 \overline {52}$

$- 0,38$

$11, \overline {175}$

$0,01 \overline {02}$

$0,12 \overline {345}$

$100, \overline {100}$

$100,00 \overline {1}$

$0,08$

$0,2$

$0,1$

$0,03$

$23, \overline {5}$

$22, \overline {32}$

$0,25$

$31, \overline {02}$

$0, \overline {21}$

$2,3 \overline {4}$

$3,21 \overline {8}$

$0,03 \overline {4}$

Scrivi la frazione generatrice di $12,3 \overline {45}$ , qual è la 614-ma cifra decimale del numero?
Calcola $0,\overline {9} - 3, \overline {9}$ . Cosa osservi?

I numeri razionali e la retta¶

Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata. Per fare questo occorre scegliere un punto O sulla retta e associare ad esso il numero zero. Fissiamo poi un segmento unitario e scegliamo un verso di percorrenza.

Dato un numero razionale positivo, rappresentato dalla frazione $\frac{ a}{ n}$ il punto corrispondente al numero razionale sulla retta viene determinato nel seguente modo. Dividiamo il segmento unitario u in tante parti uguali quante sono quelle indicate dal denominatore n della frazione, ottenendo così la frazione unitaria $\frac{1}{ n}$ . A partire dal punto O procedendo verso destra, si contano a frazioni unitarie. L’ultimo punto rappresenta il numero razionale $\frac{ a}{ n}$ .

Per le frazioni improprie la singola unità u non è sufficiente, occorre prendere la unità successiva di u e dividere anche questa in n parti. Il procedimento si ripete fino a che si considerano tutte le frazioni unitarie indicate da a**.** Anche in questo caso, il punto individuato dall’ultima frazione unitaria rappresenta il numero razionale $\frac{ a}{ n}$ . In alternativa si può scomporre la frazione impropria nella somma di un numero intero e di una frazione propria, quindi si rappresenta la frazione impropria a partire dal suo numero intero invece che partire da 0. Per esempio, per rappresentare la frazione $\frac{3}{2}$

trasformiamo la frazione in $1 + \frac{1}{2}$

, quindi rappresentiamo $\frac{1}{2}$: partendo dal numero 1 invece che da 0.

Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l’avvertenza di muoverci nel senso opposto a quello precedente cioè da destra verso sinistra.

immagini10

Rappresenta su una retta orientata, dopo aver scelto una opportuna unità di misura, i seguenti gruppi di numeri razionali, ciascun gruppo su una retta

$\frac{2}{3} ;- \frac{3}{4} ; \frac{5}{2} ;- \frac{7}{12} ; \frac{3}{2} ;- \frac{11}{6} ; \frac{9}{4}$

$\frac{0}{4} ; \frac{5}{4} ; \frac{9}{4} ; \frac{1}{2} ; \frac{19}{8} ; \frac{3}{2} ; \frac{7}{4} ; \frac{4}{2}$

$\frac{10}{3} ; \frac{5}{3} ; 2 ; \frac{0}{3} ; \frac{4}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{5}{6} ; \frac{13}{6}$

$\frac{1}{2} ; \frac{3}{4} ;-\frac{5}{4} ;-\frac{1}{2} ; \frac{7}{8} ;-\frac{5}{16}$

$\frac{8}{5} ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{10} ;-\frac{7}{4} ;-\frac{3}{5} ;-\frac{11}{10}$
Scrivi i numeri razionali rappresentati dai punti segnati sulla retta nella figura

immagini12

Disegna su una retta orientata i seguenti numeri decimali, ciascun gruppo su una retta

Tabella79
0,6	2,3	-1,2	-0,06	1,1
+1,4	-0,3	-1,5	0,2	-2,01
-0,8	-1,6	+4,91	-1,17	+3,9
1,55	2,01	-3,0	-2,10	0,25

Confronto tra numeri razionali¶

Il numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{ a}{ n}$ è minore del numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{ b}{ m}$ , se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione:math:frac{ a}{ n}

precede il punto che corrisponde alla frazione $\frac{ b}{ m}$

e si scrive $\frac{ a}{ n}<\frac{ b}{ m}$ . Viceversa $\frac{ a}{ n}$ è maggiore di $\frac{ b}{ m}$ , se nella retta orientata il punto che corrisponde a $\frac{ a}{ n}$

segue il punto che corrisponde a $\frac{ b}{ m}$

e si scrive $\frac{ a}{ n}>\frac{ b}{ m}$ .

Il numero razionale $\frac{ a}{ n}$ è equivalente a $\frac{ b}{ m}$ se nella retta orientata i punti che corrispondono alle due frazioni coincidono.

Esempio

$-\frac{13}{8}< -\frac{1}{2} ; \frac{3}{8}> -\frac{1}{2} ; \frac{3}{8}<\frac{3}{2}-1> -\frac{13}{8} ;$

Per certe frazioni è facile vedere se una frazione precede o segue un’altra. Per altre non è così semplice.

Consideriamo per esempio le frazioni $\frac{7}{9}$ e $\frac{6}{7}$ . Quale frazione precede e quale segue? Il confronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{9}$ , con la seconda per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{7}$ .

In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare i numeri razionali?

Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità frazionarie dello stesso tipo: cioè occorreridurre le frazioni allo stesso denominatore*.*

Procedura per confrontare due frazioni

si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni;
si trasforma ciascuna frazione come segue:
1. il nuovo denominatore è il m.c.m. trovato
2. il nuovo numeratore si ottiene dividendo il m.c.m. per il denominatore della frazione data e moltiplicando il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione data;
si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha il numeratore più grande.

Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel ‘moltiplicare in croce’ numeratori e denominatori delle frazioni, come nel seguente esempio:

Esempio

Confronta $\frac{3}{2}$

con $\frac{5}{3}$

Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione con il denominatore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda, così:

$\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$: perché $3 \cdot 3 < 2 \cdot 5$

Esempio

Confronta le frazioni $\frac{7}{9}$

e $\frac{6}{7}$

.

$m.c.m.( 7,9 )=63$ $\frac{7}{9}=\frac{7 \cdot 7}{9 \cdot 7}=\frac{49}{63}$ $\frac{6}{7}=\frac{6 \cdot 9}{7 \cdot 9}=\frac{54}{63}$ quindi $\frac{54}{63}>\frac{49}{63} \rightarrow \frac{6}{7}>\frac{7}{9}$

Inserisci tra le seguenti coppie di numeri razionali i simboli di maggiore(>), minore(<) o uguale(=).

Tabella103
$\frac{4}{5} \cdots \frac{5}{7} ;$	$- \frac{9}{5} \cdots - \frac{8}{3} ;$	$- 1 \cdots \frac{1}{12} ;$	$\frac{2}{7} \cdots \frac{6}{21} ;$
$- \frac{1}{2} \cdots - \frac{3}{4}$	$\frac{3}{5} \cdots \frac{6}{9}$	$\frac{2}{3}\dots\frac{3}{4}$	$- \frac{3}{2} ;\dots - \frac{4}{3}$

Quale dei seguenti numeri razionali è il maggiore? $\frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ; \frac{5}{8} ; \frac{3}{5} ; \frac{7}{12}$
Quale dei seguenti numeri razionali è il minore? $- \frac{2}{3} ;- \frac{3}{4} ;- \frac{5}{6} ;- \frac{1}{2} ;- \frac{2}{5} ;$
Scrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande) $-\frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ;-\frac{5}{6} ; \frac{1}{2} ;-1 ;-\frac{2}{5} ; 0$
Scrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo) $-\frac{3}{2} ; \frac{4}{3} ;-\frac{6}{5} ; \frac{2}{5} ;-1 ; \frac{5}{2} ; 0$
Qual è la minore delle seguenti frazioni? $\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{7}$ ; $\frac{3}{2}$ ; $\frac{1}{2}$
Metti in ordine le seguenti frazioni:math:frac{3}{4} ; frac{4}{3} ; frac{11}{12} ; frac{5}{3}
Ordina dal più piccolo al più grande

Tabella102
10,011	10,110	11,001	11,100
10,01	11,11	10,101	10,001
0,101	0,011	0,110	0,011
1,0101	1,1001	1,0011	1,0110

Scrivi una frazione molto vicina a $-\frac{2}{9}$
Scrivi una frazione compresa tra:

Tabella104
$\frac{3}{5}$ < .......< $\frac{7}{10}$	$\frac{5}{3}$ < .......< $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{2}$ < .......< $\frac{2}{3}$

Quali disuguaglianze sono vere?

Tabella105
[A] $- \frac{7}{6} < - \frac{6}{7}$	V F	[B] $+ \frac{7}{6} < - \frac{6}{7}$	V F
[C] $- \frac{7}{6} > + \frac{6}{7}$	V F	[D] $+ \frac{7}{6} < + \frac{6}{7}$	V F
[E] $- \frac{7}{6} < + \frac{6}{7}$	V F	[F] $+ \frac{7}{6} > - \frac{6}{7}$	V F

Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1?

Tabella107
[A] 0,10	[B] 0,99	[C] 0,01	[D] 0,90

Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione $\frac{1}{10}$ ?

Tabella108
[A] 0,01	[B] 0,90	[C] 1,01	[D] 0,19

*Scrivi due numeri compresi tra *

Tabella106
2,3 < ...... < ...... < 3,4	3,4 < ...... < ...... < 3,6	$2, \overline {3}$ < ...... < ...... < $2, \overline {4}$
$1,1 \overline {3}$ < ...... < ...... < $1,2 \overline {3}$	$3, \overline {4}$ < ...... < ...... < $3, \overline {6}$	$1, \overline {35}$ < ...... < ...... < $1, \overline {36}$

Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni e poi riscrivile in ordine crescente

$\frac{3}{4} ; \frac{3}{8} ; \frac{1}{3} ; \frac{5}{4} ; \frac{2}{5} ; \frac{6}{3} ; \frac{5}{6} ; \frac{12}{4} ; \frac{19}{8} ; \frac{16}{5}$

Le operazioni con i numeri razionali¶

Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.

Addizione¶

Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratori delle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria comune.

Per esempio, è noto che mezz’ora più mezz’ora fa un’ora: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} =1$ .

Anche un quarto d’ora più tre quarti d’ora fanno un’ora: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} =\frac{4}{4} =1$

DEFINIZIONE. La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma dei numeratori.

Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l’addizione come indicato nel punto precedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.

In generale data l’addizione di due frazioni $\frac{ m}{ n} + \frac{ p}{ q}$ la somma si può scrivere come:math:frac{mq+ pn}{ nq} :

immagini15

Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il *minimo comune multiplo *.

Procedura per sommare due o più frazioni:

ridurre le frazioni ai minimi termini;
calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori;
mettere il minimo comune multiplo come denominatore della frazione somma;.. tab
per ogni frazione dividere il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il
numeratore della frazione mantenendo il segno;
calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.

Esempio

Sommare le frazioni $\frac{8}{12} - \frac{5}{6} + \frac{8}{5} - 1$

Passo 1: riduco ai minimi termini le frazioni:math:frac{2}{3} -frac{5}{6} + frac{8}{5} -frac{1}{1}

Passo 2: calcolo:math:mcm( 3,6,5,1 ) =30

Passo 3: la frazione somma avrà come denominatore il m.c.m. trovato $\frac{\dots}{30}$

Passo 4: per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore: $\frac{2 \cdot ( 30 \div 3 )- 5 \cdot ( 30 \div 6 )+8 \cdot ( 30 \div 5 )- 1 \cdot ( 30 \div 1 )}{30}=\frac{2 \cdot 10- 5 \cdot 5+8 \cdot 6- 1 \cdot 30}{30} = \frac{20 - 25 + 48 - 30}{30}$

Passo 5: calcolo la somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore +13

Passo 6: metto la somma ottenuta al numeratore della frazione somma $+ \frac{13}{30}$

Passo 7: vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è $+ \frac{13}{30}$ .

Sottrazione di frazioni¶

La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione e l’opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà sempre somma algebrica di frazioni.

Calcola le seguenti somme algebriche tra frazioni:

Tabella109
$\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$	$\frac{7}{11} + \frac{4}{11}$	$\frac{3}{2} - \frac{5}{2}$	$\frac{8}{18} + \frac{5}{9}$
$\frac{6}{5} + 0$	$- \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$	$- \frac{2}{3}+\frac{3}{4}$	$\frac{4}{3}- \frac{6}{5}$
$\frac{2}{5}+\frac{5}{8}$	$\frac{5}{8}+\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}- \frac{5}{12}$	$1 - \frac{3}{2}$
$\frac{11}{5} + 5$	$\frac{7}{3}- \frac{6}{4}$	$3 - \frac{2}{3}$	$\frac{1}{5} - 1$
$4 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4}$	$\frac{4}{3} + 3 - \frac{1}{2}$	$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}$	$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

Calcola le seguenti somme algebriche fra numeri razionali.

Tabella110
$1,\overline {6} + \frac{2}{3}$	$5,1 - 1, \overline {5}$	$0,03 + \frac{0}{3}$	$0,1\overline {6} - 1, \overline {45}$
$50\text{ \%} + \frac{1}{2}$	$\frac{2}{5}-1,2+5\text{ \%}$	$- 1, \overline {2}+\text{ 25\%}+ \frac{5}{18}$	$\frac{3}{2} - 13\text{ \%} + 0,15$
$1,\overline {2} + 1,2$	$\frac{1}{2} + 1,2\text{ \%}$	$7,9892 + 3,0,1218$	$3,999 + un centesimo$

Completa la seguente tabella

Tabella8
$a$	$- \frac{2}{3}$	$+ \frac{3}{4}$	$- 1$	$0$	$- 1, \overline {6}$	$- 5$	$- 0,21$
$b$	$+ \frac{7}{3}$	$- \frac{5}{8}$	$+ \frac{2}{5}$	$15\text{ \%}$	$+ 2, \overline {3}$	$+ \frac{17}{3}$	$+ \frac{3}{5}$
$a + b$
$a - b$
$b - a$
$- a - b$
$- a + b$

Calcola a mente

0,1+0,1 = 0,2+0,8 = 0,01+0,9 = 0,91+0,19 =

1,10+1,01= 0,999+0,10 = 1,1-0,9 = 100-0,99 =

2-0,1 = 3-1,1 = 4-1,4 = 10-0,10 =

Moltiplicazione¶

Il risultato della moltiplicazione tra frazioni può essere interpretato come l’area di un rettangolo in cui le frazioni fattori sono la base e l’altezza.

Moltiplicare $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}$ è come calcolare l’area del rettangolo di base $\frac{4}{5}$

e altezza $\frac{2}{3}$

. Ogni rettangolino di base $\frac{1}{5}$ e altezza $\frac{1}{3}$ ha area $\frac{1}{15}$ . I rettangolini da prendere in considerazione sono 8. Il risultato è quindi $\frac{8}{15}$ .

Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Calcola i seguenti prodotti fra frazioni:

Tabella111
$\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}$	$6 \cdot \frac{5}{2}$	$- \frac{6}{5}\cdot\left( - \frac{2}{3} \right)$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{9}$	$\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{8}\cdot\left( - \frac{5}{6} \right)$	$\frac{3}{2}\cdot\left( - \frac{8}{9} \right)\cdot\frac{5}{6}$

Calcola i seguenti prodotti fra numeri razionali.

$- 1, \overline {1}\cdot\frac{18}{5}$: $2\text{ \%}\cdot5\text{ \%}$ $- \frac{3}{4}\cdot1,4\cdot( - 120\text{ \%} )$

Completa la seguente tabella.

Tabella9
$a$	$- \frac{2}{3}$	$+ \frac{3}{4}$	$- \frac{5}{8}$	$15\text{ \%}$	$- 1, \overline {6}$	$+ \frac{17}{3}$	$- 0,21$
$b$	$+ \frac{7}{3}$		$- \frac{5}{2}$		$+ 2, \overline {3}$		$+ \frac{5}{3}$
$a\cdot b$		$1$		$- 1$		$0$

Calcola a mente

Tabella112
$0,1 \cdot 0,1$	$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}$	$0,1 \cdot 100$	$1 \cdot 0,1$	$2 \cdot 0,1$	$20 \cdot 0,02$
$0,01 \cdot 10$	$\frac{1}{100} \cdot 10$	$0,1 \cdot 0,2$	$\frac{3}{10} \cdot 30$	$0,01 \cdot 0,1$	$1000 \cdot 0,0001$

Operazione inversa e aritmetica dell’orologio¶

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Ma cosa significa operazione inversa?

Una operazione può essere interpretata come qualsiasi azione che provoca un cambiamento di stato.

Consideriamo come esempio l’addizione nell’orologio che segna le ore dodici (12 = 0). Addizionare significa spostare le lancette in avanti di un determinato numero di ore.

Si riporta la tabella dell’addizione dell’orologio.

Tabella10
+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Consideriamo l’addizione $9 + 7 = 4$

Il primo elemento 9 può essere interpretato come stato iniziale, + 7 come operatore formato dall’operazione “spostare le lancette avanti di...” e dall’argomento 7; il risultato 4 è lo stato finale.

Si indica come operazione inversa quella operazione che applicata allo stato finale con argomento uguale a quello precedente dell’operazione diretta, riporta allo stato iniziale.

Notiamo che anche nella matematica dell’orologio l’addizione gode della proprietà commutativa e associativa, ha l’elemento neutro che è 0, ogni numero ha l’inverso.

L’inverso di 0 è 0 perché 0+0=0 L’inverso di 1 è 11 perché 1+11=0.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line- breakL’inverso di 2 è 10 perché 2+10=0 L’inverso di 3 è 9 perché 3+9=0.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0 }line-breakL’inverso di 4 è 8 perché 4+8=0 L’inverso di 5 è 7 perché 5+7=0.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0 }line-breake così via.

L’elemento inverso è molto importante in quanto ci permette di sostituire l’operazione inversa, con l’operazione diretta che ha come argomento l’elemento inverso dell’argomento dell’operazione diretta.

Così per tornare allo stato iniziale invece di operare con portare indietro le lancette di 7, otteniamo lo stesso risultato portando avanti le lancette di 5 che è appunto l’inverso di 7.

Divisione¶

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell’insieme dei numeri razionali esiste sempre l’inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni:

immagini211

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda frazione.

Esempi

$\frac{2}{3} \div \frac{7}{4}$: il reciproco di $\frac{7}{4}$ è $\frac{4}{7}$ pertanto :math:`frac{2}{3} div frac{7}{4}=frac{2}{3} cdot

frac{4}{7}=frac{8}{21}` .

$- \frac{2}{3} \div \left( - \frac{3}{4} \right)$ il reciproco di $-\frac{3}{4}$ è $- \frac{4}{3}$

pertanto :math:`- frac{2}{3} div left( - frac{3}{4} right) = -

frac{2}{3} cdot left( - frac{4}{3} right) = frac{+ 8}{9}` .

$\frac{2}{3} \div 0$: il reciproco di 0 non esiste quindi la divisione non è eseguibile.
$0 \div \frac{2}{3}$: il reciproco di $\frac{2}{3}\text{ è }\frac{3}{2}$ pertanto:math:0 div frac{2}{3}=0cdotfrac{3}{2}=0

Calcola i seguenti quozienti fra frazioni

Tabella113
$\frac{3}{2} \text{ :} \frac{4}{3}$	$- \frac{6}{5} \div \left( - \frac{2}{3} \right)$	$\left( \frac{+ 3}{2} \right) \div \left( \frac{- 3}{2} \right)$	$\frac{2}{5} \div \frac{5}{8} \div \left( - \frac{5}{6} \right)$

Calcola i seguenti quozienti fra numeri razionali.

Tabella114
$- 1, \overline {1} \text{ :} \frac{18}{5}$	$2\text{ \%} \div 5\text{ \%}$	$\frac{1}{2} \div 0,5$	$- \frac{3}{4} \div 1,4 \div ( - 120\text{ \%} )$

Completa la seguente tabella

Calcola a mente

Potenza di una frazione¶

$\left( \frac{ a}{ b} \right)^{ n}=\text{ n}{ \underbrace {\frac{ a}{ b}\cdot\frac{ a}{ b}\cdot\frac{ a}{ b} \cdots \cdot\frac{ a}{ b}}}=\frac{ a^{ n}}{ b^{ n}}$ Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell’esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all’esponente della potenza.

Esempi

$\left( - \frac{2}{3} \right)^{3} = - \frac{8}{27}$

$- \frac{2}{3}^{3} = - \frac{8}{3}$

$\left( - \frac{2}{3} \right)^{2} = + \frac{4}{9}$

Potenza con esponente uguale a 0¶

La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l’esponente è zero. Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha: $a^{ n} \div a^{ n}=1$ infatti dividendo due numeri uguali si ha 1.

D’altra parte, applicando le proprietà delle potenze:math:a^{ n} div a^{ n}= a^{0} . Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale a diverso da zero $a^{0} = 1$ .

Non è invece possibile la potenza $0^{0}$ .

Potenza con esponente un numero intero negativo¶

La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l’esponente sia uguale a un numero intero negativo: $a^{- n} = a^{0} \div a^{ n}=1 \div a^{ n}=\frac{1}{ a^{ n}}=\frac{1^{ n}}{ a^{ n}}= \left( \frac{1}{ a} \right)^{ n}$ .

Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero $a^{- n} = \left( \frac{1}{ a} \right)^{ n}$ .

La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente.

Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0 , il numero 0 infatti non ha il reciproco. Pertanto, $0^{- n}$

è una scrittura priva di significato.

Calcola il valore delle seguenti potenze

Tabella81
$\left( - \frac{2}{3} \right)^{2}$	$\left( - \frac{1}{2} \right)^{3}$	$- \left( \frac{3}{2} \right)^{2}$	$\left( \frac{1}{2}- 1 \right)^{3}$	$\left( - \frac{3}{5} \right)^{0}$	$\left( - \frac{3}{5} \right)^{1}$
$\left( - \frac{2}{3} \right)^{- 2}$	$\left( - \frac{1}{2} \right)^{- 3}$	$- \left( \frac{3}{2} \right)^{- 2}$	$- 2^{- 4}$	$- \left( \frac{5}{6} \right)^{- 1}$	$\left( \frac{1}{10} \right)^{- 3}$

Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nelle seguenti uguaglianze

$\left( - \frac{3}{2} \right)^{2}\cdot\left( - \frac{3}{2} \right)^{3}=\left( - \frac{3}{2} \right)^{5}= - \frac{3^{5}}{2^{5}}$

$\left( - \frac{3}{2} \right)^{2} \text{ :} \left( - \frac{3}{2} \right)^{3}=\left( - \frac{3}{2} \right)^{- 1}= - \frac{2}{3}$

$\left( \left( - \frac{3}{2} \right)^{2} \right)^{3}=\left( - \frac{3}{2} \right)^{6}= + \frac{3^{6}}{2^{6}}$

$\left( \frac{5}{2} \right)^{2} \text{ :} \left( \frac{25}{10} \right)^{2}=\left( \frac{5}{2} \text{ :} \frac{5}{2} \right)^{2}=\left( \frac{5}{2}\cdot\frac{2}{5} \right)^{2}= 1^{2}$
Completa la seguente tabella.

Calcola a mente

Tabella82
$3,4 \cdot 10^{2} =$	$0,34 \cdot 10^{4} =$	$0,34 \div 10^{3} =$	$3,04 \cdot 10 =$
$3,4 \div 10^{2} =$	$34,4 \div 10^{2} =$	$34,10 \cdot 10^{3} =$	$0,34 \div 10^{2} =$

Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni

Tabella83
$- ( - 2 )^{2}$	$[ - ( - 1 )^{2} ]^{3}$	$- ( - 2 )^{- 4}$	$- [ - ( - 1 )^{- 1} ]^{- 2}$
$\frac{2^{- 1} + 3^{- 2}}{2^{- 2} + 3^{- 1}}$	$\frac{2^{- 2} - 3^{- 1}}{2^{- 2} + 3^{- 1}}$	$( - 1 )^{3} \cdot \frac{2^{- 2} - 5^{- 1}}{2^{- 2} + 5^{2}}$	$R.\frac{22}{11}; - \frac{1}{7}; - \frac{1}{505}$

Esercizi di ripasso sulle operazioni con le frazioni¶

Esegui le seguenti operazioni con le frazioni, quando è possibile

Tabella84
$\frac{2}{3}\cdot0$	$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{0}$	$\frac{1}{2}\cdot\frac{0}{2}$	$\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$	$\frac{2}{3} \div 0$
$\frac{2}{3}-0$	$1 \div \frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}\cdot4$	$\frac{1}{4} \div 4$	$0,3 \div 3$	$1,5 \div 1, \overline {5}$
$1,5 \div 1,5$	$1,5^{0}$	$( 1 - 1 )^{0}$	$( - 1 )^{- 1}$	$3^{0} \div 2^{0}$	$( - 2 )^{- 2} \div ( - 1 )^{- 1}$

Verifica le seguenti uguaglianze trovando la frazione generatrice

$\frac{1, \overline {7}}{1, \overline {3}} = 1, \overline {3}$

$\frac{2, \overline {7}}{1, \overline {6}} = 1, \overline {6}$

$\frac{1,1 \overline {6}}{2, \overline {3}} = 0,5$

$\frac{2, \overline {3}}{1, \overline {6}} = 1,4$

Sottolinea le frazioni equivalenti a $\frac{3}{5}$

tra le seguenti :math:`frac{6}{10} ; frac{25}{100} ; frac{12}{10} ;

frac{5}{25}`
Completa le seguenti uguaglianze

$\frac{3}{5} = \frac{\dots}{10}$

$\frac{75}{10} = \frac{\dots}{100}$

$\frac{7}{\dots} = \frac{1}{2}$

$3 = \frac{24}{\dots}$

Completa:

$\frac{3}{4} +\dots= 1$

$1 -\dots= \frac{4}{13}$

$\frac{11}{12} \cdot\dots= \frac{8}{55}$

$\dots \div \frac{5}{3} = \frac{3}{5}$
Correggi le seguenti operazioni:

$\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 2}{4 + 7}$

$\frac{8}{25} - \frac{3}{10} = \frac{8 - 3}{50}$

$3 \cdot \frac{11}{13} = \frac{33}{39}$

Tabella115
	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{2}$
$\frac{10}{3}$
$\frac{23}{12}$
$\frac{13}{2}$
$\frac{9}{4}$

Tabella116
x	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{11}{4}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{2}$
$\frac{7}{3}$
$\frac{8}{5}$

Riscrivi in simboli e motiva la verità o falsità di ciascuna proposizione

Il triplo di un terzo è l’unità.

La somma di un quinto con il doppio di un mezzo è sei quinti.

Un ottavo è maggiore di un quinto.
Relativamente alla figura a fianco, quale proposizione è vera?

Il segmento AB la divide in due parti uguali
Il segmento AB la divide in due quadrilateri

La parte in grigio rappresenta 1/4 della figura?

immagini49

Costruisci una figura che sia gli 11/6 della figura che segue:

immagini50

Colora i 3/4 della figura

immagini32

Notazione scientifica e ordine di grandezza¶

Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc., si trovano spesso a doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da numeri molto grandi. Per esempio:

il raggio della Terra è circa 6 400 000 m;

la velocità della luce nel vuoto è 299 790 000 m/s;

un globulo rosso ha il diametro di 0,000007 m.

I primi due numeri sono “molto grandi”, mentre l’ultimo è “molto piccolo” e operare con numeri simili, non è affatto semplice.

Per renderci conto di ciò, consideriamo un rettangolo di dimensioni.. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-breakb = 0,00000006 m e h = 0,0000002 m e calcoliamone l’area:

$A = b \cdot h = 0,00000006 \cdot 0,0000002 = 0,000000000000012$ .

Come si può notare, per scrivere il risultato di un’operazione tra due numeri in questo caso “molto piccoli”, è necessario fare particolare attenzione in quanto, per l’eccessiva quantità di cifre decimali, è facile commettere degli errori.

Per risolvere questo problema, si preferisce utilizzare una scrittura compatta che permette di scrivere questo tipo di numeri in forma più agevole. Una tale scrittura prende il nome di notazione scientifica.

DEFINIZIONE. Un numero $\alpha$: è scritto in notazione scientifica se si presenta nella

forma: $\alpha = K \cdot 10^{ n}$ dove k è un numero decimale compreso tra 1 e 9 ed n è un numero intero.

Esempi

I numeri $3,5 \cdot 10^{7}$ e:math:8,9 cdot 10^{- 5} sono scritti in notazione scientifica, mentre i numeri:math:0,5 cdot 10^{3} e:math:11,3 cdot 10^{- 8}

non sono scritti in notazione scientifica in quanto il numero davanti alla

potenza di 10 nel primo caso è 0,5 che è minore di 1, nel secondo caso è 11,3 che è maggiore di 10.

Come trasformare un numero in notazione scientifica?¶

Consideriamo la misura del diametro del globulo rosso, ovvero 0,000007 m. Per esprimere questa misura in notazione scientifica basta considerare la sua frazione generatrice, ovvero: $0,000007 m=7 \cdot\frac{1}{1000000} m=7 \cdot\frac{1}{10^{6}} m=7 \cdot10^{-6} m$

Allo stesso modo il numero 0,000000026 viene scritto in notazione scientifica come segue: $0,000000026=2,6 \cdot \frac{1}{100000000}=2,6 \cdot \frac{1}{10^{8}}=2,6 \cdot 10^{- 8}$

Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 2,6 anziché 26, in quanto il numero k deve essere compreso tra 1 e 9.

Consideriamo ora la misura del raggio della Terra, ovvero 6.400.000 m, la sua espressione in notazione scientifica sarà: $6,4 \cdot10^{6}$ .

Allo stesso modo il numero 340 000 000 000 viene scritto in notazione scientifica $3,4 \cdot 10^{11}$ .

Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 3,4 anziché 34, in quanto, come si è già detto, il numero k deve essere compreso tra 1 e 9.

Osservazione

A numeri “piccoli”, corrisponde una potenza di dieci con esponente negativo; a numeri “grandi”, corrisponde una potenza di dieci con esponente positivo.

Esempio

Riprendendo il problema della lamina rettangolare, le sue dimensioni in notazione scientifica vengono scritte come: $\begin{array}{l } b=6 \cdot 10^{- 8} m \\h=2 \cdot 10^{- 7} m\end{array}$ L’area sarà quindi: $A=b \cdot h=6 \cdot10^{-8}\times2 \cdot10^{-7} m^{2} =12 \cdot10^{-15} m^{2} =1,2 \cdot10^{1} \cdot10^{-15} m^{2} =1,2 \cdot10^{-14} m^{2}$

Com’è possibile vedere, utilizzando le note proprietà delle potenze, si riesce ad eseguire l’operazione in maniera molto agevole.

Procedura per scrivere un numero decimale positivo a in notazione scientifica¶

se $a > 1$ , per esempio $348.000.000.000.000$

si divide il numero decimale per una potenza del 10 in modo da avere un numero decimale compreso tra 1 e 9;

per trovare la potenza del 10 per la quale dividere il numero bisogna contare le cifre significative del numero prima della eventuale virgola e togliere 1. Per esempio le cifre significative di:math:348.000.000.000.000 sono 15, si divide quindi il numero per $10^{14}$ , si ottiene $348.000.000.000.000 \text{ :} 10^{14}=3,48$ ;

per scrivere il numero a in notazione scientifica occorre moltiplicare il numero trovato al passo precedente per la potenza di 10 utilizzata. Nell’esempio precedente:math:3,48 cdot 10^{14}

se $0 < a < 1$ , per esempio $0,000034$

si moltiplica il numero decimale per una opportuna potenza del 10 in modo da ottenere un numero compreso tra 1 e 9;

per trovare la potenza del 10 bisogna contare gli zeri che si trovano tra la virgola e la prima cifra significativa del numero. Nel caso di $0,000034$ gli zeri sono 4, si moltiplica allora il numero per $10^{5}$ e si ottiene $0,000034\cdot10^{5}=3,4$ ;

per scrivere il numero a in notazione scientifica occorre moltiplicare il numero ottenuto al passo precedente per la stessa potenza di 10 utilizzata presa però con esponente negativo. Nell’esempio considerato si ottiene $3,4\cdot10^{- 5}$ .

Esprimere in notazione scientifica i seguenti numeri

$780000000000000 = 7,8\cdot10^{ \cdots }$

$423000000000 = 4,23\cdot10^{ \cdots }$

$76000000000000 = \ldots \cdot10^{ \cdots }$

$0,00000000098 = 9,8\cdot10^{ \cdots }$

$0,0000045 = 4,5\cdot10^{ \cdots }$

$0,000000987 = \ldots \cdot10^{ \cdots }$

Quale tra i seguenti numeri non è scritto in notazione scientifica?

Tabella13
[A] $5,67 \cdot 10^{- 12}$	[B] $4,28 \cdot 10^{8}$	[C] $10,3 \cdot 10^{- 2}$	[D]:math:9,8 cdot 10^{7}

Determina in notazione scientifica l’area di una lamina di ferro quadrata di lato 0,00000000021 m.
Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri

Tabella85
34000	0,000054	260000	0,0000157	99000000

Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il risultato

Tabella86
$0,00036\cdot20000000$ = ...	$84000 \text{ :} 42$ = ...
$900000000 \text{ :} 0,0003$ = ...	$3 \text{ :} 10000000$

Esempio

Calcola il risultato e scrivilo in forma esponenziale $\frac{3000 \text{ :} 6 milioni}{5000\cdot0,000002}$

$\frac{3000 \text{ :} 6 milioni}{5000\cdot0,000002}=\frac{3 \cdot10^{3} \div ( 6 \cdot10^{6} )}{5 \cdot10^{3} \cdot( 2 \cdot10^{-6} )}=\frac{3 \div 6 \cdot10^{-3}}{5 \cdot2 \cdot10^{-3}} =\frac{0,5}{10} \cdot10^{-3 + 3} =0,05 \cdot10^{0} =0,05 =5 \cdot10^{-2}$

Calcola ed esprimi il risultato in notazione scientifica

Tabella87
$3 \cdot 10^{24} + 4 \cdot 10^{24}$	$0,3 \cdot 10^{104} + 4 \cdot 10^{103}$	$6 \cdot 10^{101} \cdot 0,15 \cdot 10^{101}$	$12 \cdot 10^{2000} \div 6 \cdot 10^{200}$

Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il risultato

$\frac{( 0,00002 )^{2} \text{ :} 30.000.000\cdot( 0,1 )^{5}}{4000\cdot0,02 \text{ :} 0,000003}$ $R.5 \cdot10^{-32}$
$\frac{( 3.000 )^{2} \text{ :} 0,000003 \text{ :} 20.000.000}{0,00002 \text{ :} 0,00000004}$ $R.3 \cdot10^{2}$
$\frac{( 2000 )^{3}\cdot( 0,000001 )^{5} \text{ :} 20}{( 0,0003 )^{2} \text{ :} 3.000.000}$ $R.1,3 \cdot10^{-8}$
$\frac{4000^{2} \cdot0,000012}{3 \cdot10^{9} \cdot2000^{3}}$ $R.4 \cdot10^{-21}$
Disponi in ordine di distanza dal Sole i seguenti pianeti, in base alla distanza media riportata tra parentesi: Mercurio $( 5,8 \cdot10^{7} )$ , Nettuno $( 4,5 \cdot10^{9} )$ , Giove $( 7,8 \cdot10^{8} )$ , Plutone $( 6,1 \cdot10^{9} )$ , Urano $( 2,7 \cdot10^{9} )$ , Terra $( 1,5 \cdot10^{8} )$ , Marte $( 2,3 \cdot10^{8} )$ .

Ordine di grandezza¶

Spesso, nel trattare i numeri “molto grandi” o “molto piccoli”, non è importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto è grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il seguente concetto.

DEFINIZIONE. Dato un numero, si definisce ordine di grandezza (abbreviato con la sigla o.d.g.), la potenza di 10 più vicina al numero.

Procedura per determinare l’ordine di grandezza di un numero

scrivi il numero dato in notazione scientifica:math:mathbf{kcdot10^{ n}} ;
se $\mathbf{k < 5}$

l’ordine di grandezza è $\mathbf{10^{ n}}$
se $\mathbf{k \geq 5}$

l’ordine di grandezza è $\mathbf{10^{n + 1}}$

.

Esempio

Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000074 e 47000000000.

Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica: $0,000074=7,4 \cdot 10^{- 5}$ ,:math:47000000000=4,7 cdot10^{10}

l’o.d.g. del primo numero è:math:10^{- 4} in quanto il numero 7,4 è maggiore di 5.

l’o.d.g del secondo numero è:math:10^{10} in quanto il numero 4,7 è minore di 5.

Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri

126 000 000 0,0000098 7 000 000 0,0000000027

Completare la seguente tabella:

Tabella14
Numero	26 000 000	0,000083	490 000	0,0000081
Notazione scientifica
o.d.g.

Determina l’ordine di grandezza del risultato dei seguenti calcoli

Tabella88
$5,3\cdot10^{5}\cdot1,2\cdot10^{3}-2,5\cdot10^{6}$	$\left( 5\cdot10^{2}\cdot4\cdot10^{3} \right)^{3}$

Problemi con le frazioni¶

Problemi diretti. Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la frazione per la grandezza intera.

Esempio

Una pasticceria produce 568 cornetti a settimana: i 3/4 sono alla crema, 1/8 sono al cioccolato e 1/8 alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo produce?

Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna frazione:

Cornetti alla crema: $\frac{3}{4} \cdot 568 = 426$

Cornetti al cioccolato: $\frac{1}{8} \cdot 568 = 71$

Cornetti alla marmellata: 71.

Problemi inversi.Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezza si deve calcolare il valore dell’intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la frazione, si ottiene così l’intero.

Esempio

Mario ha speso 21€ che corrispondono ai 3/5 della somma che possedeva. Quanto possedeva?

In questo problema si sa che 21€ corrispondono ai 3/5 della somma da cercare. E’ sufficiente dividere 21 per la frazione:

System Message: WARNING/2 (21 € \div \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €)

latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $21 € \div \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €$ ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $21 € \div \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 €$ ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 ... \frac{3}{5}=21€ \cdot\frac{5}{3}=35 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 400 bytes). Transcript written on math.log.

.

Esempio

Giuseppe possiede 150 euro. Se spende i 3/5 della somma posseduta e poi i 2/3 della somma rimanente, quanto gli rimane?

Per risolvere il problema si può procedere in più modi: calcoliamo prima i 3/5 di 150, cioè

System Message: WARNING/2 (\frac{3}{5} \cdot150€ =90 €)

latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $\frac{3}{5} \cdot150€ =90 €$ ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $\frac{3}{5} \cdot150€ =90 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 344 bytes). Transcript written on math.log.

. Quindi la prima volta Giuseppe spende 90 €, perciò gliene rimangono 60. La seconda volta spende i 2/3 di 60 €, cioè

System Message: WARNING/2 (\frac{2}{3} \cdot60€ =40 €)

latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $\frac{2}{3} \cdot60€ =40 ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.13 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 344 bytes). Transcript written on math.log.

. In tutto ha speso 90€+40€=130€, gli rimangono 20€.

Un altro modo per risolvere il problema è tenere conto che, se la prima volta ha speso i $\frac{3}{5}$

della somma che possedeva, significa che gli rimane la frazione :math:`1 -

frac{3}{5} = frac{2}{5}` . La seconda volta spende i $\frac{2}{3}$

dei $\frac{2}{5}$

, cioè $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$ . In tutto ha speso la frazione $\frac{3}{5} + \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 3 + 4}{15} = \frac{13}{15}$ , gli rimane perciò la frazione $\frac{2}{15}$ , pertanto gli rimangono

System Message: WARNING/2 (\frac{2}{15} \cdot 150€ = 20 €)

latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $\frac{2}{15} \cdot 150€ = 20 €$ ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $\frac{2}{15} \cdot 150€ = 20 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 344 bytes). Transcript written on math.log.

.

La distanza Roma - Bari è di 450 km. Se ho percorso i 2/5 del tragitto quanti chilometri mancano ancora da percorrere?
Lucia ha letto 3/5 di un libro, gli rimangono da leggere 120 pagine. Quante pagine ha il libro? [R.42]
Una persona possiede 525 euro. Se spende i 3/5 della somma e poi i 2/3 della rimanente, quale somma di denaro gli rimane?
Luigi ha 18 anni, cioè i 3/7 dell’età di sua madre, che a sua volta ha i 4/5 dell’età de marito. Quali sono le età del padre e della madre di Luigi?

Le percentuali¶

Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del 10 per cento, oppure che un partito politico ha preso il 25 per cento di voti e altre espressioni simili che coinvolgono le percentuali.

Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni.

DEFINIZIONE. Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e come numeratore un numero intero o decimale.

La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %.

$35\text{ \%}=\frac{35}{100} ; 7\text{ \%}=\frac{7}{100} ; 12,5\text{ \%}=\frac{12,5}{100}=\frac{125}{1000}$

Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere per 100 il numero che esprime la percentuale:

$35\text{ \%}=\frac{35}{100}=0,35 ; 7\text{ \%}=\frac{7}{100}=0,07 ; 12,5\text{ \%}=\frac{12,5}{100}=0,125$

Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta moltiplicare numeratore e denominatore per 100:

$0,02=\frac{0,02}{1}=\frac{2}{100}=2\text{ \%} ; 0,23=\frac{0,23}{1}=\frac{23}{100}=23\text{ \%} ; 1,21=\frac{1,21}{1}=\frac{121}{100}=121\text{ \%}$

Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale:

$\frac{2}{3} = 0,\overline {6} = \frac{0, \overline {6}}{1} = \frac{66, \overline {6}}{100} = 66, \overline {6}\text{ \%}$

Trasforma i seguenti numeri percentuali in numeri decimali.

$12\text{ \%} ; 0,03\text{ \%} ; 4,3\text{ \%} ; 80\text{ \%} ; 3,5\text{ \%}; -0,2\text{ \%} 15\text{ \%} ;-0,38\text{ \%}$

Trasforma i seguenti numeri decimali in percentuali.

$-1,25 ; 0,03 ;-2, \overline {1} ; 0, \overline {13} ; 5,080 ; 3,7 \overline {52} ;-0,38$

Trasforma i seguenti numeri percentuali in frazioni ridotte ai minimi termini.

$12\text{ \%} ; 0,03\text{ \%} ; 4,3\text{ \%} ; 80\text{ \%} ; 3,5\text{ \%}; -0,2\text{ \%} 15\text{ \%} ;-0,38\text{ \%}$

Trasforma le seguenti frazioni in numeri percentuali.

$- \frac{3}{2} ; \frac{4}{3} ;- \frac{6}{5} ; \frac{2}{25} ; \frac{5}{8} ; \frac{5}{6} ;- \frac{5}{12}$

Problemi con le percentuali¶

Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il valore della grandezza per la percentuale espressa in frazione.

Esempio

In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono stati i promossi?

Per rispondere alla domanda si moltiplica il numero totale di alunni per la frazione 95/100. Precisamente $\frac{95}{100} \cdot 857 = 814,15$ . Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stata approssimata. Gli alunni promossi sono stati 814.

A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte nota per l’intera grandezza, moltiplicare il risultato per 100 ed esprimere il numero in percentuale.

Esempio

Di una scolaresca di 652 alunni ben 126 hanno avuto il debito in matematica. Qual è la percentuale di alunni che hanno avuto **il debito in matematica?

Per rispondere alla domanda eseguiamo i seguenti calcoli $\frac{126}{652} \cdot 100\text{ \%} \approx 0,19 \cdot 100\text{ \%} = 19\text{ \%}$ .

Problemi con gli sconti¶

Esempio

Un pantalone costava 70€ e viene venduto con il 20% di sconto, a quanto viene venduto?

Si tratta di calcolare prima lo sconto e po il prezzo scontato.

Lo sconto è dato da

System Message: WARNING/2 (20\text{ \%} \cdot70€ =\frac{20}{100} \cdot70€ =14 €)

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. Il prezzo scontato è 70€ - 14€ = 56€.

In alternativa si può tenere conto che, se 20% esprime lo sconto, la parte rimanente, quella da pagare, è 100%-20%=80%. Quindi per calcolare quanto costano i pantaloni scontati si può calcolare

System Message: WARNING/2 (80\text{ \%} \cdot70€ =\frac{80}{100} \cdot70€ =56 €)

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.

Esempio

Un paio di scarpe da 120€ viene venduto scontato a 75€ Qual è stata la percentuale di sconto praticato?

Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto = 120€ - 75€ = 45€.

Calcolo la percentuale che 45€ rappresentano di 120€, $\frac{45}{120} \cdot100\text{ \%} =0,375 \cdot100\text{ \%} =37,5\text{ \%}$ .

Esempio

Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era scontato del 15%, ha risparmiato cosi 120 euro. Quanto costa il computer di listino?

120€ corrisponde al 15% del prezzo di listino. Per calcolare il prezzo di listino occorre dividere 120 per la frazione che corrisponde a 15%.

System Message: WARNING/2 (120 \div 15\text{ \%} = 120 \div \frac{15}{100} = 120 \cdot \frac{100}{15} = 800 €)

latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.13 \frac{100}{15} = 800 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 440 bytes). Transcript written on math.log.

.

A una scuola di ballo si sono iscritte 120 persone; il 20% frequentano i corsi di ballo liscio. In quanti frequentano i corsi di liscio?
Una scuola attiva dei corsi di lingue. 32 studenti si iscrivono al corso di inglese, 24 al corso di francese e 16 al corso di tedesco. Qual è la percentuale degli alunni iscritti al corso di inglese, rispetto al totale degli iscritti?
A una scuola di ballo sono iscritte 120 persone. Di queste il 68% sono donne. Quanti sono gli uomini?
Una bici viene venduta con uno sconto del 10%, il prezzo di listino prima dello sconto era 175 €. Quanto costa ora?
Una canna da pesca da 125 € è in vendita promozionale a 70 €. Qual è la percentuale di sconto applicata?
Per l’acquisto di un armadio Maria è riuscita a spuntare, dopo lunghe discussioni, uno sconto del 25% risparmiando ben 120 €. Qual era il prezzo senza sconto dell’armadio?
Completa la seguente tabella

Tabella74
prezzo di listino	sconto	sconto in %	prezzo scontato
120€	12€	10%	108€
250€	10€	…
125€	5€	…	...
170€	…	10%	…
1.100€	…	15%	...
220€	…	…	20€
12.000€	…	…	700€
…	15€	15%	…
…	30€	…	50€
…	…	25%	140€
…	120€	30%	…

Calcola:
1. il 10% di 100
2. il 30% di 700
3. il 20% di 500
4. il 15% di 150
5. il 25% di 1250
6. il 16% di 120
Quale percentuale è
1. 10 bocciati su 120 alunni: la percentuale di bocciati è …
2. 15 alunni su 45 giocano a calcio: la percentuale di alunni che giocano a calcio è …
3. 10 alunni su 28 suonano il piano: la percentuale di alunni che suonano il piano è …
4. 20 alunni su 120 frequentano il corso di teatro: la percentuale di alunni che fanno teatro è ...
Se aumenta al prezzo
1. un chilo di pane lo scorso anno costava 1,20€, quest’anno è aumentato del 3%, allora costa … … €
2. un litro di benzina lo scorso anno costava 1,514 €, quest’anno costa 1,629€ allora è aumentata del ... %
3. un litro di latte lo scorso anno costava 1,25€, quest’anno è aumentato di 0,05%, allora costa …… €
4. un chilo di formaggio parmigiano lo scorso anno costava 23,50€ quest’anno costa 25,80€ allora è aumentato del …...%
Se il prezzo diminuisce
1. un chilo di pomodori lo scorso anno costava 1,20€, quest’anno è diminuito del 5%, allora costa …...€
2. un chilo di peperoni lo scorso anno costava 2,10€, quest’anno costa 1,80€ allora è diminuito del …...%
3. un chilo di cicoria lo scorso anno costava 0,80€, quest’anno due chili costano 1,20 €, allora la cicoria è diminuita del …...%
4. un chilo di arance lo scorso anno costava 1,40 €, quest’anno le arance sono diminuite del 15%, allora costano al chilo …...€.
Dato il costo di un oggetto IVA esclusa calcola il prezzo IVA inclusa e viceversa

Tabella75
costo iva esclusa	iva %	costo iva inclusa
€ 130	21%	… … ...
€ 1250	21%	… … ...
€ 17,40	4%	… … ...
… …	21%	€ 170
… …	21%	€ 12240
€ 110,00	…	€ 105,60

Dati imponibile (costo senza iva) e iva determina il costo comprensivo di iva, e viceversa

Tabella76
imponibile	iva %	iva	totale
100	21%	21	121
1100	21%	…	…
…	23%	…	1100
1000	…	…	1100
…	21%	141	…
1100	…	100	...

La seguente tabella riporta i dati relativi alla provenienza di una classe prima di una scuola secondaria

	Scuola di provenienza
Sesso	Scuola A	Scuola B	Scuola C	Altre scuole
M	6	4	4	2
F	5	3	4	2

Qual è la percentuale di alunni provenienti dalla Scuola A?

Qual è la percentuale di maschi provenienti dalla Scuola C?

Qual è la percentuale di alunni che non provegono dalle scuole A o B o C?

Qual è la percentuale di alunni che provengono dalle scuola A o C?

Agli esami di stato un gruppo di allievi ha riportato i seguenti punteggi in centesimi

Tabella60
punteggi	60	64	68	70	74	75	80	82	83	84	85	86	87	88	89	90	92	94	98	100
allievi	2	3	1	5	4	2	1	2	3	2	4	1	3	2	1	3	2	4	6	8

Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con un punteggio superiore a 75. Quale la percentuale di diplomati potrà partecipare al concorso? Se solo il 10% di quelli che si sono presentati al concorso lo hanno superato, quanti degli allievi hanno superato il concorso?

Tra i dipendenti di un’azienda si effettua un sondaggio per decidere se è opportuno introdurre un nuovo tipo di turno di lavoro. Nella tabella sono riportati i risultati del sondaggio.

Tabella67
	favorevoli	contrari
uomini	75	49
donne	81	16

Tra le donne, qual è la percentuale di lavoratrici favorevoli al nuovo turno?

Qual è la percentuale di lavoratori (uomini e donne) che non sono favorevoli al nuovo turno?

Sapendo che $\overline {AB} = 12cm$

e che $\overline {BC} = \frac{3}{4} \overline {AB}$ calcola la lunghezza di BC.
Sapendo che:math:overline {AB} = 36cm

e che $\overline {AB} = \frac{6}{5} \overline {BC}$ calcola la lunghezza di BC.
Sapendo che $\overline {AB} + \overline {BC} = 15cm$

e che $\overline {AB} = \frac{2}{3} \overline {BC}$ calcola le lunghezze di AB e di BC.
Sapendo che $\overline {AB} - \overline {BC} = 4cm$ e che $\overline {AB} = \frac{4}{3} \overline {BC}$ calcola le lunghezze di AB e di BC.
Determina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che uno è la metà dell’altro.
Determina le ampiezze di due angoli supplementari sapendo che uno è i 2/3 dell’altro.
Determina le misure dei due lati di un rettangoli sapendo che ha perimetro di 128cm e che l’altezza è 3/2 della base.
La superficie della Toscana è divisa tra le seguenti provincie, calcola per ciascuna di esse la percentuale del territorio posseduta: Arezzo (3.235 km2), Firenze (3.514 km²), Grosseto (4.504 km²), Livorno (1.211 km²), Lucca (1.773 km²), Massa e Carrara (1.156 km²), Pisa (2.444 km²), Pistoia (965 km²), Prato (365 km²), Siena (3.821 km²).
La superficie dellaTerra è per il 70% ricoperta di acqua e per il 30% di terraferma. Per 1/5 la terraferma è coperta da ghiaccio e deserto, per 2/3 da foreste e montagna. La parte rimanente è terreno coltivato. Qual è in percentuale la parte della superficie terrestre coltivata?
In 30 kg di sapone concentrato al 30% quanta acqua e quanto sapone ci sono?.. tab[R. 21kg, 9kg]
Una soluzione di 6kg concentrata al 45% per avere una nuova soluzione concentrata al 60%.
Quanto solvente bisogna aggiungere a una soluzione di 2kg concentrata al 12% per ottenere una nuova soluzione concentrata al 10%
Si hanno due soluzioni delle stesse sostanze, una concentrata al 10% e l’altra al 30%. In quale proporzione occorre miscelare le due soluzioni in modo da ottenere 6kg di soluzione concentrata al 15%?
Una società ha acquistato dei PC nuovi per i propri dipendenti. Pagandoli in contanti ha ottenuto uno sconto dell’8%, versando di conseguenza l’importo di 24.500 €. Qual è il valore iniziale della merce acquistata?
Una persona paga un tappeto 1200 €, lo stesso tappeto l’anno precedente costava 900 €. Quanto è stato l’aumento percentuale da un anno all’altro?
Quanto vale il 2012% di 2012?

Proporzioni¶

DEFINIZIONE. Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero, è il quoziente che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Il primo numero si dice antecedente, il secondo conseguente.

DEFINIZIONE. Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti, del tipo A : B = C : D, che si legge A sta a B come C sta a D” con B e D diversi da zero.

Esempi

4 : 2 = 12 : 6, formano una proporzione perché i due quozienti valgono entrambi 2.
7 : 14 = 16 : 4 NON formano una proporzione perché il primo rapporto vale 0,5 mentre il secondo rapporto vale 4.

PROPRIETA’ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI. In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

$A \div B = C \div D \rightarrow A \cdot D = B \cdot C$

Esempi

4 : 6 = 6 : 9, il prodotto dei medi è $6 \cdot 6 = 36$

il prodotto degli estremi è $4 \cdot 9 = 36$

, quindi è una proporzione.
20 : 30 = 30 : 40, il prodotto dei medi è $30 \cdot 30 = 900$

il prodotto degli estremi è $20 \cdot 40 = 800$

, quindi non è una proporzione.

PROPRIETà DEL PERMUTARE. Se in una proporzione scambiamo tra di loro i medi otteniamo ancora una proporzione; in modo analogo otteniamo ancora una proporzione se scambiamo tra di loro gli estremi, o ancora se scambiamo tra di loro sia i medi sia gli estremi.

$A \div B = C \div D \rightarrow A \div C = B \div D \rightarrow D \div B = C \div A \rightarrow D \div C = B \div A$

Esempio

Data la proporzione 12 : 16 = 18 : 24

scambiando tra di loro i medi si ottiene la proporzione 12 : 18 = 16 : 24
scambiando tra di loro gli estremi si ottiene la proporzione 24 : 16 = 18 : 12
scambiando tra di loro sia i medi sia gli estremi si ottiene la proporzione 24 : 18 = 16 : 12

PROPRIETà DELL’INVERTIRE. Se in una proporzione scambiamo ogni antecedente con il rispettivo conseguente otteniamo ancora una proporzione.

$A \div B = C \div D \rightarrow B \div A = D \div C$

Esempio

Data la proporzione 15 : 9 = 5 : 3

applicando la proprietà dell’invertire otteniamo la proporzione 9 : 15 = 3 : 5

PROPRIETà DEL COMPORRE. In una proporzione la somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine.

$A \div B = C \div D \rightarrow ( A + B ) \div A = ( C + D ) \div C$

$A \div B = C \div D \rightarrow ( A + B ) \div B = ( C + D ) \div D$

Esempio

Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà del comporre si ottengono le proporzioni: 26 : 16 = 65 : 40 26 : 10 = 65 : 25

Analogamente alla proprietà del comporre si ha la seguente

PROPRIETà DELLO SCOMPORRE. In una proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto termine.

$A \div B = C \div D \rightarrow ( A - B ) \div A = ( C - D ) \div C$

$A \div B = C \div D \rightarrow ( A - B ) \div B = ( C - D ) \div D$

Esempio

Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà dello scomporre si ottengono le proporzioni: 6 : 16 = 15 : 40 6 : 10 = 15 : 25

Calcolo di un medio o un estremo incognito¶

Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo per il medio noto: $a \div b = x \div d \rightarrow x = \frac{a \cdot d}{ b}$ .

L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo per l’estremo noto: $x \div b = c \div d \rightarrow x = \frac{b \cdot c}{ d}$ .

Esempi

Calcola il termine incognito di ciascuna proporzione

Tabella130
5 : 7 = 20 : x	$x = \frac{7 \cdot 20}{5} = 28$
2 : x = 3 : 16	$x = \frac{2 \cdot 16}{3} = \frac{32}{3}$
$\frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = x \div \frac{5}{6}$	$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{9}$

DEFINIZIONE. Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Una proporzione continua è del tipo A : B = B : C, per esempio

3 : 9 = 9 : 27 5 : 10 = 10 : 20 4 : 16 = 16 : 64

Calcolo del medio in una proporzione continua¶

In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto.

$a \div x = x \div d \rightarrow x = \sqrt{a \cdot d}$

Esempio

Trovare il valore di x nella seguente proporzione continua 36 : x = x : 9

Svolgimento $x = \sqrt{36 \cdot 9} = 18$

Calcolo di un termine incognito per mezzo delle proprietà del comporre e dello scomporre

Esempio

(11-x) : x = 15 : 5 applicando la proprietà del comporre si ha la proporzione (11-x+x) : x = (15+5): 5 da cui 11 : x = 20 :5 da cui si ricava $x = \frac{11 \cdot 5}{20} = \frac{11}{4}$ .
$\left( \frac{1}{2} + x \right) \div \frac{5}{8} = x \div 5$

permutando i medi si ha :math:`left( frac{1}{2} + x right) div x =

frac{5}{8} div 5`

applicando la proprietà dello scomporre si ha :math:`left( frac{1}{2} + x
- x right) div x = left( frac{5}{8} - 5
right) div 5`

eseguendo le operazioni nelle parentesi si ha :math:`frac{1}{2} div x =

frac{- 35}{8} div 5`

da cui :math:`x = frac{1}{2} cdot 5 div left( frac{- 35}{8} right) =

frac{1}{2} cdot 5 cdot left( - frac{8}{35} right) = - frac{4}{7}` .

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali¶

Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero; sappiamo che esso varia al variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con $l$ la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro è dato dalla relazione:

$2p = 3l$

È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro etc.

Tabella15
Lato $l$	0,5	1	1,5	2,4	3,1	4,4
Perimetro $2p$	1,5	3	4,5	7,2	9,3	13,2
Rapporto $\frac{2p}{ l}$	3	3	3	3	3	3

DEFINIZIONE. Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè $\frac{ y}{ x} = k$ con $k \in \mathbb{R} - \left\{0 \} \right .$ .

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:

$y = kx$: con $k \in \mathbb{R} - \left\{0 \} \right .$

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa per l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali:

Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter chiedi ogni volta 10 € di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della benzina diminuirà la quantità di carburante che ricevi e viceversa se diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburante che ricevi. Ciò che rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità di benzina ricevuta che deve essere sempre 10 €.

Tabella16
Prezzo benzina al litro $p$	System Message: WARNING/2 (`1,126 €`) latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $1,126 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes). Transcript written on math.log.	System Message: WARNING/2 (`1,156 €`) latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $1,156 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes). Transcript written on math.log.	System Message: WARNING/2 (`1,212 €`) latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $1,212 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes). Transcript written on math.log.	System Message: WARNING/2 (`1,248 €`) latex exited with error: [stderr] [stdout] This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2009/09/24> Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1 9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian , estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?’ option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ucs/data/uni-32.def) ! Undefined control sequence. \u-default-8364 ...ifx \euro \undefined \texteuro \else \euro \fi l.12 $1,248 € $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 256 bytes). Transcript written on math.log.
Benzina ricevuta $b$	$8,881 l$	$8,650 l$	$8,251 l$	$8,013 l$
Costo $c = p \cdot b$	€ 10,00	€ 10,00	€ 10,00	€ 10,00

DEFINIZIONE. Due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante, cioè se: $x \cdot y = k$

con $k \in \mathbb{R} - \left\{0 \} \right .$

.

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo: $y = \frac{ k}{ x}$

con $k \in \mathbb{R} - \left\{0 \} \right .$

.

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da un ramo d’iperbole equilatera in un sistema di assi cartesiani ortogonali:

Verifica se i gruppi di numeri formano nell’ordine scritto una proporzione

Tabella89
$\frac{1}{5} ; \frac{3}{5} ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}$	$\frac{3}{5} ; \frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ; \frac{5}{6}$	$\frac{1}{5} ; \frac{4}{3} ; \frac{4}{27} ; \frac{8}{9}$
35; 7; 48; 6	14; 3,5; 4; 1

Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per verificare quale delle seguenti scritture formano una proporzione:
1. 10 : 11 = 12 : 13 [SI] [NO]
2. 7 : 14 = 21 : 42 [SI] [NO]
3. 64 : 48 = 8 : 6 [SI] [NO]
4. 18 : 15 = 12 : 10 [SI] [NO]
5. 10 : 6 = 5 : 3 [SI] [NO]
6. 1,2 : 1,4 = 3,6 : 4,2 [SI] [NO]
Disponi opportunamente i numeri in modo che formino una proporzione:
1. 7; 5; 20; 28
2. 8; 3; 2; 12
3. 5; 6; 2; 15
4. 3; 5; 9; 15
5. 6; 7; 2; 21
6. 3; 8; 6; 16
Completa la seguente tabella

Tabella17
1° termine	2° termine	antecedente	conseguente	rapporto	Rapporto inverso
32	8	32	8	32:8=4	$\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
12	13
$\frac{3}{5}$	3
				$\frac{1}{4} \div \frac{3}{2}$
					$\frac{7}{10} = \frac{21}{4}$

Completa la seguente tabella

Tabella18
proporzione	antecendenti	conseguenti	medi	estremi	valore del rapporto
3 : 5 = 21 : 35	3, 21	5, 35	5, 21	3, 35	0,6
54 : 12 = 36 : 8
7 : 21 = 9 : 27
$\frac{5}{4} \div \frac{15}{8} = 4 \div 6$

Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni:

2 : 24 = 3 : x
$x \div 0,\overline {6} =0,8 \div 1, \overline {3}$
$\frac{7}{3} \div x =\frac{4}{3} \div \frac{8}{35}$
$\left( 1 - \frac{5}{12} \right) \div \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right) = x \div \left( \frac{9}{8} - \frac{5}{8} \right)$
$\left( \frac{3}{20} + \frac{3}{8} \right) \div x = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{11}{3} + \frac{1}{7} \right)$
$\left( 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) \div \left( \frac{5}{8} + \frac{1}{4} \right) = \left( \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \right) \div x$
$\left( \frac{4}{5} + 1 \right) \div \left( 3 - \frac{1}{5} \right) = x \div \left( 2 + \frac{1}{3} \right)$
$\left( \frac{5}{3} + \frac{8}{3} - 3 \right) \div x = x \div \left( 1 + \frac{5}{16} + \frac{3}{8} \right)$ $\left[ \pm\frac{3}{2} \right]$
$\left[ \pm\frac{5}{2} \right]$
$\left( 70 - x \right) \div 6 = x \div 8$ [40]
$\left( \frac{5}{6} - x \right) \div \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = x \div \left( \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \right)$ [25/48]
x : y = 5 : 3 con x+y =24 [x=15; y=9]
$\left( 6 + \frac{3}{5} \right) \div y = \left( \frac{4}{3} - \frac{2}{15} \right) \div x$ con $x + y =\frac{13}{4}$ [x=1/2; y=11/4]
$\left( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} \right) \div \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{20} \right) = x \div y$ con $x - y =\frac{1}{3}$ [x=5/6; y=1/2]
$x \div \frac{2}{7} = y \div \frac{1}{2} = z \div \frac{3}{14}$ con $x + y + z =\frac{1}{2}$ [x=1/7; y=1/4; z=3/28]
Per ciascuna funzione costruisci la tabella dei valori (almeno 5) e stabilisci se sono riferite a grandezze direttamente proporzionali, inversamente proporzionali o nessuno dei due casi

$y = 5x$

$y = \frac{1}{12x}$

$y = \frac{2}{3} x$

$y = \frac{1}{ x} + 3$

$y = 6x + 1$

$y = \frac{24}{ x}$

$y = 4x$

$y = \frac{18}{ x}$

$y = \frac{1}{2} x$

$y = \frac{6}{ x}$

$y = 5 + x$

$y = 3x + 2$

$y = \frac{2}{ x}$

$y = 2x$

$y = 2x - 1$

$y = \frac{1}{2x} + 1$

$y = 2x - 2$
Osserva i grafici e rispondi alle domande

immagini611

Quale grafico rappresenta una funzione di proporzionalità diretta e quale di proporzionalità inversa?
Qual è il coefficiente di proporzionalità? Del primo grafico è … … del secondo è … …
Qual è la funzione? Del primo grafico è … … … del secondo grafico è … … …
La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare della grandezza y al variare di x:

Tabella19
x	1	2	3	4	6	8	12	24
y			8		4		2	1

Completa la tabella sulla base dei valori noti
Si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?
Qual è la legge che lega y a x?
Rappresenta su un piano cartesiano questa relazione
La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare dello spostamento s (espresso in km) in funzione del tempo t (espresso in ore) relativo a un corpo che si muove con velocità costante:

Tabella20
t	1	2	3	4	5	6	7	8
s	7		21		35		49	56

Completa la tabella sulla base dei valori noti
Si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?
Qual è la legge che lega y a x?
Rappresenta su un piano cartesiano questa relazione

Espressioni con le frazioni¶

Esempio

$\begin{array}{l } \left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \left( \frac{4}{9} -\frac{1}{3} \right)\text{ :}5 + \left( \frac{3}{7} -\frac{2}{5} \right)\text{ :}\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \times\frac{1}{9} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2= \\=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \left( \frac{4 -3}{9} \right)\text{ :}5 + \left( \frac{15 -14}{35} \right)\text{ :}\frac{1}{14} + \frac{1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2= \\=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{1}{9} \div 5 + \frac{1}{35} \div \frac{1}{14} + \frac{1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{1}{9} \cdot\frac{1}{5} + \frac{1}{35} \cdot\frac{14}{1} + \frac{1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2= \\=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{1}{45} + \frac{1}{35^{5}} \cdot\frac{14^{2}}{1} + \frac{1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{1}{45} + \frac{2}{5} + \frac{1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2= \\=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{1 + 18 + 1}{45} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\left\{ \frac{3}{20} \times\left[ \frac{20^{4}}{45^{9}} \right] + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\left\{ \frac{3}{20} \times\frac{4}{9} + \frac{2}{15} \right\} \div 2= \\=\left\{ \frac{3^{1}}{20^{5}} \times\frac{4^{1}}{9^{3}} + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\left\{ \frac{1}{15} + \frac{2}{15} \right\} \div 2=\frac{3^{1}}{15^{5}} \div 2=\frac{1}{5} \cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{10}\end{array}$

Esempio

$\begin{array}{l } \left[ \frac{13}{5} \div \left( 3 + \frac{9}{10} \right) + \frac{7}{8} + \left( \frac{13}{4} -2 \right) \times\frac{4}{15} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11}{3} \div \left( 6 -\frac{1}{2} \right)= \\=\left[ \frac{13}{5} \div \left( \frac{30 + 9}{10} \right) + \frac{7}{8} + \left( \frac{13 -8}{4} \right) \times\frac{4}{15} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11}{3} \div \left( \frac{12 -1}{2} \right)= \\=\left[ \frac{13}{5} \div \frac{39}{10} + \frac{7}{8} + \frac{5}{4} \times\frac{4}{15} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11}{3} \div \frac{11}{2}= \\=\left[ \frac{13}{5} \times\frac{10}{39} + \frac{7}{8} + \frac{5^{1}}{4^{1}} \times\frac{4^{1}}{15^{3}} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11}{3} \times\frac{2}{11}= \\=\left[ \frac{13^{1}}{5^{1}} \times\frac{10^{2}}{39^{3}} + \frac{7}{8} + \frac{1}{3} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11}{3} \times\frac{2}{11}= \\=\left[ \frac{2}{3} + \frac{7}{8} + \frac{1}{3} -\frac{7}{8} \right] \times\frac{11^{1}}{3} \times\frac{2}{11^{1}}= \\=\left[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right] \times\frac{2}{3}=1 \times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\end{array}$

Esempio

$\begin{array}{l } \left[ \left( \frac{7}{5} -\frac{1}{2} \right)^{2} \div \left( \frac{9}{10} \right)^{2} -\left( 1 + \frac{2}{3} -2 \right)^{2} \right]^{2} \div \left( \frac{10}{9} \right)^{2} -\left( 1 + \frac{8}{5} + \frac{1}{25} \right) = \\=\left[ \left( \frac{14 -5}{10} \right)^{2} \div \left( \frac{9}{10} \right)^{2} -\left( \frac{3 + 2 -6}{3} \right)^{2} \right]^{2} \div \left( \frac{10}{9} \right)^{2} -\left( \frac{25 + 40 + 1}{25} \right) = \\=\left[ \left( \frac{9}{10} \right)^{2} \div \left( \frac{9}{10} \right)^{2} -\left( -\frac{1}{3} \right)^{2} \right]^{2} \div \left( \frac{10}{9} \right)^{2} -\left( \frac{66}{25} \right) = \\=\left[ 1 -\frac{1}{9} \right]^{2} \div \left( \frac{10}{9} \right)^{2} -\left( \frac{66}{25} \right) = \\=\left[ \frac{8}{9} \right]^{2} \cdot\left( \frac{9}{10} \right)^{2} -\frac{66}{25} = \\=\left( \frac{4}{5} \right)^{2} -\frac{64}{25} =\frac{16}{25} -\frac{66}{25} =-\frac{50}{25} =-2\end{array}$

$\left( - 1 + \frac{1}{2} \right) \text{ :} \left( \frac{3}{2}+\frac{5}{4} \right)$ R.:math:-frac{2}{11}
$\left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) \cdot\left( \frac{1}{2}-\frac{3}{4} \right)$ R.:math:frac{1}{24}
$\frac{1}{2} \cdot\left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right)\text{ :}\left( \frac{3}{2}-\frac{3}{4} \right)$ R.:math:frac{5}{6}
$\frac{1}{3} - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \right) + \frac{3}{2} - \left[ \frac{3}{4} - \left( \frac{7}{30} - \frac{4}{5} \right) + \frac{5}{6} \right]$ R.:math:-frac{3}{20}
$\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{5}+\frac{3}{2}\cdot\left[ \frac{3}{4}\cdot\left( \frac{12}{7}-\frac{5}{2} \right)+\frac{5}{6} \right]$ R.:math:-frac{673}{1680}
$\frac{5}{6} \cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{5}-\frac{3}{4} \text{ :} \left[ 0,75-\frac{5}{6} \right]$ R.:math:frac{31}{3}
$\frac{1}{3} \div \left( \frac{3}{2} -\frac{2}{3} \right) + \frac{1}{6} -\frac{1}{15}$ R.:math:frac{1}{2}
$-\left( \frac{3}{4} + 1,4 \right) \cdot\left( \frac{2}{3} -\frac{3}{8} \right) + \frac{6}{5}$ R.:math:frac{55}{96}
$\left( \frac{2}{3} -\frac{7}{6} \right) -\left( 1 + \frac{5}{6} \right) \div \left( 2 -\frac{1}{3} \right)$ R.:math:-frac{8}{5}
$\left( \frac{5}{3} -\frac{7}{2} \right) \cdot\frac{4}{5} + \left[ \left( \frac{1}{3} -\frac{1}{15} \right) \cdot\frac{5}{2} \right]^{2}$ R.:math:-frac{46}{45}
$\left( 3 -\frac{18}{5} -\frac{5}{6} \right) \cdot\left( -\frac{9}{4} + \frac{3}{4} \right) -\frac{2^{2}}{3} + \frac{1}{60}$ R.:math:frac{5}{6}
$\left[ \frac{2}{3} -\left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{5} \right) \right] -\left[ \frac{3}{5} -\left( \frac{3}{4} -\frac{1}{3} \right) \right]$ R.:math:frac{1}{3}
$2 -\left[ 3 + 1 -\left( 2 -\frac{1}{2} \right) \right] -\left( -2 -\frac{1}{2} \right) \cdot\left( \frac{1}{2} -\frac{3}{4} + \frac{1}{6} \right) \div \left( -\frac{1}{2} \right)$ R.:math:-frac{1}{12}
$\frac{63}{55} \times\frac{44}{45} + \frac{14}{75} \times\frac{15}{35} + \frac{2}{25} \times10 -\frac{16}{25} \div \frac{3}{5} + \frac{1}{15}$ R.:math:1
$\left\{ \left[ \left( \frac{1}{2}-\frac{2}{3} \right) \text{ :} \left( \frac{5}{6}-\frac{5}{12} \right)\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{4} \right] \text{ :} \frac{1}{4} \right\} -\frac{2}{3}\cdot\left( -0,6 \right)$ R.:math:frac{13}{5}
$\frac{4}{5} -\frac{27}{7} \times\frac{1}{12} + \frac{8}{21} \div \frac{8}{6} + \frac{13}{2} \times\frac{1}{7} -\frac{9}{14} + \frac{1}{7} -\frac{12}{25} \div \frac{3}{5}$ R.:math:frac{11}{28}
$\left[ \left( \frac{1}{3} -\frac{1}{7} \right) \times\frac{7}{2} -\left( \frac{10}{18} -\frac{7}{15} \right) \div \frac{2}{9} \right] \div \frac{14}{15} \times\frac{1}{4} + 1$ R.:math:frac{15}{14}
$\left( \frac{3}{5} -\frac{1}{4} \right) \cdot\left( \frac{7}{5} + \frac{3}{4} \right) -\left( \frac{2}{3} -\frac{5}{4} \cdot\frac{3}{7} \right) \div \frac{2}{14} -\frac{1}{400}$ R.:math:frac{5}{3}
$\left( \frac{3}{5} -1 \right) -\left( \frac{1}{8} + \frac{7}{5} -\frac{17}{20} \right) + \left( \frac{7}{6} -\frac{2}{5} \right) \div \frac{4}{15} -\left( \frac{3}{2} -\frac{5}{2} \div \frac{1}{5} \right) \div \frac{22}{17} -\frac{3}{10}$ R.:math:10
$\frac{19}{3} \cdot\left( \frac{3}{5} + \frac{3}{2} -2 \right) \div \left( \frac{3}{10} -\frac{5}{4} \right) -\left( \frac{1}{2} -\frac{1}{5} -1 \right) + \frac{3}{2} \cdot\left( -\frac{3}{10} + \frac{1}{2} \right) \cdot\left( -\frac{5}{3} \right)^{2}$ R.:math:frac{13}{15}
$\left[ \left( \frac{4}{3} -\frac{1}{10} \right) \div \frac{37}{5} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{3} \right]^{2} \div \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{2} -\left( \frac{1}{3} \right)^{2} +\left( \frac{1}{4} \right)^{2} -\left( \frac{1}{6} \right)^{2} +\left( \frac{5}{12} \right)^{2} \right]$ R.:math:frac{1}{50}
$\left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \div 3 -\left( 2 + \frac{3}{2} \right) + 1 \right] + \left( 3 -0,75 \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \right) -1\left( -2 + \frac{3}{2} \right)^{2}$ R.:math:frac{11}{6}
$\left( \frac{8}{3} -\frac{1}{6} \right)^{-1} -\left( \frac{1}{2} -\frac{3}{8} \right) + \frac{10}{8} \cdot\left( \frac{5}{7} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} \cdot\frac{1}{6^{2}}$ R. $\left[ \frac{139}{40} \right]$
$\left\{ \left( \frac{2}{5} \right)^{4} \times\left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{8} \div \left( \frac{2}{5} \right)^{3} \right]^{2} \right\}^{2} \div \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{3} \times\frac{2}{5} \times\left( \frac{2}{5} \right)^{3} \right]^{4}$ R.:math:1
$1 -\left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \times\left( \frac{3}{2} \right)^{2} \div \left( \frac{3}{2} \right)^{4} -\left( \frac{4}{5} \right)^{3} \div \left( \frac{4}{5} \right)^{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^{4} \div \left( \frac{1}{3} \right)^{3} \right]$ R.:math:frac{1}{6}
$\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} -\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{2^{2}}{3} \cdot\left( \frac{2}{3} \right)^{-3} -\frac{( -2 )^{-2}}{5} -2^{4}$ R. $\left[ \frac{9}{20} \right]$
$\left\{ \left[ \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \div \left( 0,75 + 1 -\frac{3}{4} \right) \right]^{3} \cdot\left( \frac{3}{5} -\frac{3}{8} \right) + \frac{3}{5} \right\} \div \frac{1}{5}$ R.:math:frac{10}{3}
$\left\{ \frac{1}{2} + \frac{15}{2} \div \left[ \frac{1}{2} \div \left( 1 -\frac{3}{4} \right) + 1 \right] \right\} \cdot\left[ \left( \frac{1}{3} \right)^{5} \div \left( \frac{1}{3} \right)^{4} \right]^{2}$ R.:math:frac{1}{3}
$\left\{ \left[ \left( \frac{5}{4} \right)^{2} \div \left( \frac{1}{2} \right) \right] \cdot\left[ \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} \right) \cdot\frac{4}{5} \right] \cdot\frac{1}{14} \right\}^{2} \div \left( 1 -\frac{5}{6} \cdot\frac{3}{10} \right)^{2}$ R.:math:frac{1}{144}
$\left[ ( 0,4 -1 )^{2} \div 0,01 -\left( -\frac{2}{3} \right)^{-2} \right] \cdot\left( -\frac{1}{2} \right)^{-4}$ R. $[630 ]$
$\frac{7}{15}\left\{ \left( \frac{9}{4} + \frac{3}{4} \cdot\frac{1}{2} -\frac{11}{16} \div \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) \div \left[ \left( \frac{4}{7} + \frac{5}{4} \right) \div \frac{17}{7} \right] \right\} \cdot\frac{9}{5}$ R.:math:frac{77}{50}
$\left( 2 + \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot\left( 2 -\frac{1}{2} \right)^{-2} + \left[ \left( 2 + \frac{1}{3} \right) \cdot\left( \frac{7}{3} \right)^{-2} \right]^{-1}$ R. $\left[ \frac{46}{9} \right]$
$\left[ \left( 3 + \frac{1}{2} -\frac{5}{3} \right) \cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2} \right] \div \left\{ \frac{3}{2} -\left[ \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{11} + \frac{5}{22} + \frac{7}{33} \right) \div \frac{82}{33} + \frac{1}{12} \right]^{5} \right\}^{3} \div \frac{1}{4}$ R.:math:frac{44}{3}
$\left\{ \left[ \left( \frac{8}{3} \right)^{10} \div \left( \frac{8}{3} \right)^{6} \right]^{2} \cdot\left[ \left( \frac{8}{3} \right)^{8} \div \left( \frac{8}{3} \right)^{3} \right] \right\} \div \left( \frac{8}{3} \right)^{11}$ R.:math:frac{64}{9}
$\left( 1 + \frac{3}{2} \right)^{2} \cdot\left( 2 -\frac{5}{2} \right)^{-2} \cdot\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \right]^{-2}$ R. $[400 ]$
$\left( \frac{1}{3} -1 \right) -\left( \frac{1}{6} -\frac{1}{4} \right) \cdot\frac{6}{5} -\left( \frac{2}{9} -\frac{1}{5} \right) \cdot3 -\frac{1}{30}$ R.:math:-frac{2}{3}
$\frac{\left( 1 + \frac{2}{3} \right) \div 5 + \left( 2 -\frac{2}{3} \right)}{3 + \left( \frac{1}{2} -1 \right)} \div \frac{\left( 5 -\frac{1}{5} \right) + \left( \frac{7}{3} -\frac{2}{35} \right)}{\left( \frac{3}{2} -\frac{1}{4} \right) \cdot\left( 3 -\frac{1}{3} \right)}$ R.:math:frac{100}{303}
$8,75\left( \frac{2}{5} -0,2 \right)\left\{ \left[ 2 -1,\overline {6} -\left( 0,2 + \frac{2}{3} \right) \right]\left( \frac{1}{7} -\frac{17}{4} \right) \right\} -\frac{2}{3}\left( 2 -\frac{1}{2} \right) + 7,5 -0, \overline {3}$ R.:math:10
$\left( \frac{1}{6} + 0,1 \right) \cdot0,16 \cdot( 1 -1,0 \overline {1} )^{-1}$ R. $[-4 ]$
$\left( \frac{4}{3} -2 \right)\left( -\frac{1}{2} \right) \div \left[ \frac{5}{7}\left( \frac{2}{5} -\frac{1}{6} \right) + \left( 2 + \frac{2}{5} \right)\left( \frac{3}{4} -\frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) \right] \div \frac{11}{6}$ R.:math:-frac{60}{11}
$\left( 1 -\frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot\left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{2} \right]^{-2} \div \left( \frac{5}{2} -2 \right)^{-3}$ R. $\left[ \frac{8}{81} \right]$
}object-ole R:math:left( frac{2}{5} right)^{-46}
$\left( \frac{1}{5} -\frac{1}{4} \right)\left( -1 -\frac{1}{3} \right) + \left[ \left( 1 + \frac{4}{3} \right) \cdot\left( 4 -\frac{9}{2} \right) \right] \cdot\frac{3}{4} + 3 -\left( \frac{2}{27} \cdot\frac{9}{10} -\frac{1}{10} \right) -\frac{9}{40}$ R.:math:2
$\left[ 0,625 + 4,5 \cdot( 0,75 -0, \overline {6} ) \right] \div \left[ 0,875 + 0,75 \cdot( 2,5 -2, \overline {3} ) \right]$ R. 1
$\left\{ 3 -\left[ 0,\overline {6} -\left( 0,1\overline {6} + \frac{5}{12} \right) \right] \div 0,25 \right\}^{2} \cdot( 0,\overline {6} -0,625 )$ R.:math:frac{8}{27}
$\left( \frac{12}{9} -1 \right)^{2} \cdot\left( \frac{2}{81} \div 3 \right)^{-1} \cdot\frac{1}{2} + \left( \frac{7}{4} \right)^{3} \cdot\left[ -\left( \frac{4}{3} -\frac{1}{3} \right)^{3} \cdot\left( \frac{5}{49} -\frac{3}{147} \right) \right] -\frac{1}{( -4 )^{2}}$ R. $\left[ \frac{25}{4} \right]$
$\left( \frac{1}{5} \right)^{2} -\left( \frac{1}{6} \right)^{-1} -\frac{\left( \frac{1}{3} + 0,5 \right)^{-2}}{\left( \frac{1}{3} -0,5 \right)^{-2}} + \left( \frac{0,5 -0,1}{1 -0,5} \right)^{-2} -4^{-2}$ R. $\left[ -\frac{9}{2} \right]$
R. 1
R. 2
$0,1 \overline {6}^{2} + \left[ 1,5 \div 1,5^{2} + \left( 1,\overline {6} -0,5 \right) \div \left( 2 -0, \overline {3} \right) + \left( 0,\overline {6} + 0,5 -0,2 \right) \cdot0,75 \div 5,8 \right] \cdot0, \overline {6}$ R.38/45
$\left\{ 0,8\overline {3} -\left[ 0,\overline {6} + \left( 0,75 -0, \overline {6}^{2} -\left( 1 -2,\overline {3} \cdot0,25 \right) \right) \right] + 0, \overline {6} \div 0, \overline {8} \right\} \div 1,02 \overline {7}$ R. 40/37
$\left[ \frac{-0,\overline {3} + 2 \cdot1, \overline {3}}{1, \overline {3}} + 2 + \frac{1,\overline {3} + 2 \cdot0, \overline {3}}{-0, \overline {3}} \right] \cdot\frac{( 1, \overline {3} )( -0, \overline {3} )}{1,\overline {3} -0, \overline {3}}$ R.:math:1
R.:math:frac{1}{15}
R.:math:7
$\left( \frac{4}{5} \right)^{2} - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - 1 + 0,5 \right) \div ( 0,75 + 2,5 + 1 - 1,125 ) - \left( \frac{3}{25} + 0, \bar {3} \right)$ R.:math:0
$\left( \frac{1}{3} + 1 \right) \div ( 0,1\bar {6} + 0,25 ) - ( 0,3 + 0,7 ) - \left( 2 + \frac{1}{5} \right)$ R.:math:0
$3^{4} \cdot \left[ \left( \frac{5}{6} \right)^{2} \right]^{3} \cdot \left[ \left( \frac{2}{15} \right)^{3} \right]^{2} \div \left( \frac{1}{9} \right)^{4}$ R.:math:1
$2^{2} \cdot ( 1,75 )^{2} \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^{2} \cdot \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \right]^{2} \div [ ( 0,5 )^{2} ]^{3}$ R.:math:1
$2\left( 1 - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{7}{6} - 2 \right) \cdot \left( - \frac{3}{5} \right)\left[ 1 - \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) + 1,5 \right] + \frac{14}{5}\left( \frac{2}{7} - 1 \right)$ R.:math:frac{5}{6}
$0, \overline {3}\frac{\left( 0,\overline {1} + 0,2 \overline {7} \right)}{\left( 0,8\overline {3} -\frac{7}{9} \right) \cdot\left( 0,\overline {27} + 1,\overline {6} + 0, \overline {39} \right)}$ R.:math:1
$\left( 1 - \frac{3}{2} \right)^{2}\left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{2} \div \left( - \frac{1}{3} \right) - \left( - \frac{1}{2} \right)^{3} \div \left( - \frac{1}{2} \right)$
$\left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{2}\left( 1 - \frac{1}{2} \right)^{2} \right]^{3} \cdot \frac{2^{12}}{3^{6}} + \left[ \left( - \frac{3}{4} \right)^{- 3} \div \left( - \frac{3}{4} \right)^{- 2} \right] \cdot \left[ \left( - \frac{2}{3} \right)^{2} \div \left( - \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^{2}$
$\left\{ \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^{3} \right] \div \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2} -\frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \right] \right\} \div \left( 2 + \frac{4}{9} \right)$
$3^{2}\left\{ \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{7}{6} \right) \div \left( \frac{9}{11} \right) \right] \div \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{9} \right) \right\} \cdot \left( \frac{14}{11} - \frac{4}{3} \right)$ R.:math:- 1
$\frac{( - 2 + 0,5 )[ 0,3( 1 + 0,5 ) + ( 0,4 - 0,\bar {3} - 0,2 ) ]}{2,5 - ( 8 - 0,25 )( 1 - 0,8 )}$ R.:math:- frac{1}{2}
$\left( - 2 + \frac{1}{2} \right) \div \left( - 3 + \frac{3}{2} \right) + \left( 1 + \frac{1}{8} \right) \div \left( - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \right) + \frac{8}{5} \div \left( - \frac{2}{3} - 2 \right)$ R.:math:- frac{1}{10}
$\left( -2 + \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot\left( 4 -\frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) -\left( \frac{1}{2} -2 \right)^{2}\left( 3 -\frac{1}{4} \right)$
R.:math:frac{1}{3}
R.:math:frac{7}{3}
$\begin{array}{l } \left( -\frac{3}{2} -1 \right) \cdot\left( -\frac{3}{2} + 1 \right) + \left( \frac{3}{4} -2 \right) \cdot\left( -\frac{3}{4} -2 \right) \cdot\frac{4}{11} + \\+ \left( \frac{2}{3} -\frac{3}{4} \right) -\left[ \frac{1}{9} -\left( \frac{3}{2} -\frac{2}{3} \right) \div \left( \frac{9}{4} + 1 + \frac{2}{3} -\frac{1}{6} \right) + \frac{2}{3} \div \left( \frac{9}{4} -\frac{9}{4} + \frac{1}{3} \right) \right] + \left( \frac{7}{6} -1 \right)^{2}\end{array}$ R.:math:frac{5}{9}
$\left[ -\left( -\frac{1}{5} \right)^{2} \div \left( \frac{3}{5} -1 \right)^{-2} \right] \cdot\left( -1 -\frac{1}{5} \right)^{-2} \cdot\left( -2 \right)^{-2} \cdot30^{2} -\left\{ -\left[ \left( -3 -\frac{1}{4} + \frac{13}{4} \right)^{2} \div ( -4 )^{-2} \right] \right\}$ R. $[-1 ]$
$\left[ -( -1 )^{3} + \left( \frac{2}{3} -1 \right)^{-2} \right] \cdot\left( -1 -\frac{1}{7} \right)^{-1} \cdot\left( \frac{-1}{5} \right)^{2} + \left\{ -\frac{1}{2} \cdot\left[ \left( -1 -\frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot\left( -\frac{3}{2} -1 \right)^{2} \right]^{-1} \div ( -5 )^{-2} \right\}^{2}$ R. $\left[ \frac{199}{10} \right]$
$\left\{ \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{2} -\left( 1 + \frac{1}{5} \right)^{2}\left( 1 -\frac{1}{6} \right)^{2} -\frac{1}{2} \right]^{2} \cdot\left( \frac{5}{8} \right)^{-2} \right\}^{-1} \div \frac{5}{2}$ R.:math:frac{1}{10}
$\left( 5 + \frac{1}{3} \right)^{- 2} \div \left\{ \left( \frac{11}{15} - \frac{1}{3} \right)^{2} \cdot \left( 1 - \frac{3}{5} \right)^{- 2} - \left[ 2 - \frac{5}{8} - \left( \frac{4}{3} \right)^{- 2} \right] \right\}^{2}$ R.:math:1
$\left[ \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{10} \div 3 + \left( \frac{7}{2} \div 2 \right)\left( \frac{2}{7} \div 3 \right) \right]^{2} \cdot \frac{12}{5} \div \left( \frac{20}{16} \cdot \frac{4}{15} + \frac{1}{9} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3}$ R.:math:frac{5}{8}
$\begin{array}{l } \left( \frac{7}{6} -\frac{5}{4} \right) \div \left( \frac{1}{12} -\frac{1}{2} \right) -\frac{3}{10} + \left\{ \left[ 2 -\left( 2 + \frac{1}{2} -\frac{3}{4} + \frac{1}{8} \right) \div \left( -\frac{1}{2} \right) \right] \cdot2 -\frac{7}{10} \right\} \cdot\left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) + \\+ \left[ \frac{1}{3} + \left( 1 -\frac{1}{4} \right) \div \left( -\frac{9}{2} \right) + \frac{1}{15} \right]\end{array}$ R.:math:-frac{5}{3}
$1 -\left( \frac{1}{2} -\frac{3}{4} \right)^{2} -\left[ \frac{3}{4} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{3} -1 + \frac{4}{5} \right] \div \left[ -\left( \frac{4}{5} \right)^{0} -\left( \frac{7}{5} -2 \right)^{2} \right] -\frac{3}{2} + \left[ \left( -\frac{4}{5} \right)^{-3} \right]^{2} \div \left( -\frac{4}{5} \right)^{-5}$ R.:math:- frac{3}{2}
$3 - \frac{\left( \frac{1}{2} + \frac{5}{7} \right) - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} + 2}\left( 2 - \frac{9}{5} \right)\left( \frac{1}{7} \right)^{- 2}$ R.:math:1
$\frac{\left\{ \left[ \frac{1}{2} - \left( 2 - \frac{11}{4} \right) \right] \div ( - 3,5 ) \right\} \cdot \left( 1 - \frac{4}{5} \right) \div 7^{- 2}}{\left( - \frac{1}{3} \right)^{- 3}( - 3 )^{2}( - 1 )^{2} \div ( - 3 )^{2}}$ R.:math:- frac{2}{27}
$\frac{\left( 1 + \frac{4}{3} \right)^{5}\left( 2 - \frac{1}{3} \right)^{6} + \frac{4}{7}( 2 )^{3}}{\left\{ \left[ \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{2} \div \left( 2 - \frac{1}{2} \right)^{4} \right]\left( - \frac{3}{2} \right) - \frac{1}{3} \right\}^{3}}$
$\left( 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \right)^{- 2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{2} \cdot \left( 4 - \frac{9}{2} \right)^{- 3}$ R. $\left[ - \frac{8}{81} \right]$
$\left[ \left( 2 + \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right)^{- 3} \cdot \left( \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{\frac{3}{2} - \frac{5}{3}} - \frac{1}{8} \right) \cdot \left( - \frac{3}{10} \right)^{- 2} \right]^{- 2}$ R. $[ 100 ]$

$\frac{\left[ - \left( \frac{9}{4} + \frac{9}{5} \right) - \frac{1}{20} \right]\left( \frac{11}{4} - \frac{5}{2} \right)}{1 - \left[ 1 - \left( - \frac{17}{7} \right) \right] - \left( - 1 + \frac{2}{7} - \frac{1}{14} \right)} - \left[ \left( \frac{1}{7} + \frac{33}{21} \right) - \left( 1 - \frac{1}{5} - \frac{2}{7} \right) \right]$

R.:math:- frac{1}{2}

$\frac{\left[ \frac{8}{3} - 5\left( 1 - \frac{7}{15} \right) + \left( 1 + \frac{5}{6} \right) \cdot 3 \right] \cdot \frac{1}{11} + 1 + \frac{1}{24} - \frac{5}{3}}{\frac{5}{4} + \frac{3}{10} \div \left( \frac{8}{5} - 1 \right) + \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{4} \right) \div \left( 4 + \frac{3}{2} \right)}$

R.:math:- frac{1}{12}

$\frac{( - 1,5 )^{- 1}\left\{ \frac{2}{3} - \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - ( - 3 )^{- 1} \right] \right\} - \left( \frac{1}{2} + 0,75 \right)^{0}}{( 1 - 0, \bar {3} )\left\{ - 1 - \left[ - \frac{2}{3} + \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \cdot 3^{- 1} \right] \right\} + 1} \div \left[ \left( \frac{9}{6} \right)^{3} \div \left( \frac{6}{9} \right)^{- 2} - 2, \bar {6} \right]$ R.:math:frac{18}{13}
$\frac{\left[ \frac{1}{2} - \left( 1 + \frac{8}{7} + \frac{1}{14} \right) \right] \cdot ( - 3,5 ) \cdot ( 3 - 2,8 ) \cdot 6^{- 2}}{( - 5 )^{2}\left( - \frac{1}{2} \right)^{- 2} \div ( - 0,1 )^{- 2}}$ R.:math:frac{1}{30}
$\frac{\frac{1}{10} + \frac{8}{15} \div \left( \frac{5}{9} - 0,1\bar {6} - \frac{1}{2} \right)}{2 \cdot 5^{2} \cdot \left( \frac{3}{10} + 0,25 \right)\left( \frac{7}{11} - \frac{1}{3} + \frac{5}{11} \right)} - \frac{\left[ \left( \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{15} - \frac{1}{10} \right) \div \frac{3}{10} \right]}{\left( \frac{1}{5} \right)^{- 2}}$ R.:math:- frac{12}{25}
Calcola il valore dell’espressione E = A- B, dove
$A = \left( \left( \left( - \frac{3}{7} \right)^{4} \div \left( - \frac{7}{3} \right)^{- 2} \right) \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{- 1} \right)^{- 2}$ $B = \left( \left( \frac{3}{7} \right)^{- 6} \cdot \left( 1 - \frac{4}{7} \right)^{5} \right)^{2}$

L’età di Paolo è i 5/11 di quella della madre che ha 44 anni. Quanti anni ha Paolo? [20]
L’età di Marco è 1/2 di quella di Paolo che è 1/3 di quella del padre che ha 54 anni. Quanti anni ha Marco? [9]
I 2/5 del libro che stiamo leggendo è la parte più noiosa, le rimanenti 63 pagine sono invece le più avvincenti. Di quante pagine è formato il libro? [105]
Gli alunni del primo e del secondo anno di una scuola media sono rispettivamente i 3/7 e i 2/7 del totale. Sapendo che gli alunni che frequentano la terza media sono 54, quanti sono tutti gli alunni della scuola? [189]
Al supermercato ho speso 7/10 della somma di denaro che possedevo; successivamente ho incassato un credito uguale ai 13/20 della somma iniziale e ho speso 2/15 sempre della somma iniziale per un rifornimento di benzina. Sapendo che sono rimasto con 220,50 euro, quale somma di denaro possedevo inizialmente? [270]
In una fattoria ci sono vitelli, capre e animali da cortile per un totale di 75 capi. I vitelli sono i 2/5 di tutti gli animali, mentre le capre sono i 2/3 degli animali da cortile. Quanti vitelli, capre e animali da cortile ci sono? [30, 18, 27]
Tre casse pesano complessivamente 220 kg; la seconda pesa 1/2 della prima e la terza pesa 1/3 della seconda. Calcola il peso di ciascuna cassa. [132; 66; 22]
Tre operai devono eseguire un lavoro. Il primo da solo lo farebbe in 12 giorni, il secondo in 18 giorni e il terzo in 36 giorni. Lavorando insieme, in quanti giorni i tre operai potrebbero eseguire tutto il lavoro? [6]
Un collezionista vende i 3/7 della sua collezione costituita da 385 pezzi. Quanti pezzi gli rimangono? [220]
In un terreno agricolo sono stati piantati ulivi e mandorli per 266 alberi complessivi. Se gli ulivi sono i 4/10 degli alberi di mandorle, quanti sono gli ulivi e i mandorli? [76; 190]
Il prezzo di copertina di un libro è di 29 euro; quanto verrà pagato con uno sconto del 15 % [24,65]
Su 1020 alunni di una scuola, 153 sono stati respinti; qual è la percentuale dei promossi? [85%]
La differenza di età fra Marco e Antonio è di 18 anni e l’età di Marco è i 7/4 di quella di Antonio. Quanti anni hanno Marco e Antonio? .. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}line-break[42; 24]
Un oggetto è costituito da una lega di zinco e , il suo peso è di 280 g, la percentuale di rame è %. Quanti grammi di zinco contiene?
Mario va in pizzeria e, nell’attesa di essere servito, conta le persone che vi si trovano: gli uomini sono i 5/9 delle donne, queste superano gli uomini di 8 unità, infine vi sono 17 bambini. Quante persone ci sono in tutto? Quanti sono gli uomini e le donne? [45, 10, 18]
Gino compra un auto da 5.400 euro. Paga i 4/9 in contanti ed il resto in 5 rate. Qual è l’ammontare di ogni rata? A quale frazione corrisponde ogni rata? [600 €; 1/9]
Il serbatoio di una macchina contiene benzina per i 3/4 della sua capacità. Dopo aver consumato i 2/3 della benzina che c’è, si fa un pieno aggiungendone 66 litri. Qual è la capacità del serbatoio? [88]
Un misurino contiene 1/8 di kg di farina. Quanti misurini di farina sono necessari per riempire un sacchetto di 5 kg?
Due gruppi di scavatori scavano una galleria, ciascun gruppo comincia da una delle due parti opposte; se fino a oggi hanno scavato rispettivamente 5/9 e 3/7 dell’intera galleria e restano ancora da scavare 2 m, quanto è lunga l’intera galleria? [126]
L’aria è composta per 39/50 di azoto e per 21/100 di ossigeno, la parte rimanente è composta da gas diversi. Quale frazione di aria occupano tutti gli altri gas? [1/100]
Luca ha pagato la tassa scolastica in ritardo, ha pagato 56,16 € compresa la mora del 4% per il ritardo nel pagamento. Quanto avrebbe dovuto pagare senza mora? [54€]
In un’azienda 3/10 degli impiegati sono addetti contabilità. Qual è la percentuale degli addetti contabilità rispetto a tutti gli impiegati azienda?
A un gruppo di 200 intervistati è stato chiesto quale quotidiano leggono. Le risposte sono state le seguenti:

90 leggono “La Repubblica”
70 leggono “Il Corriere della sera”
30 leggono “ La stampa”
10 leggono “ La gazzetta dello sport”

Trasforma in percentuali i dati ottenuti.

A un concorso si sono presentati 324 candidati. 22 hanno superato il concorso. Qual è stata la percentuale dei candidati che non hanno superato il concorso?
Un’auto usata è stata acquistata a 11800 € in questo modo: il 5% come caparra per la prenotazione, il 20% al momento della conseegna e il resto in 12 rate di pari importo. Qual è l’importo della rata? [737,5 €]
Un gestore di un bar acquista i cornetti a 0,60€ rivende a 0,75€. Qual è la percentuale di guadagno sul prezzo di acquisto? [25%]
In un supermercato si vende il pomodoro pelato a 0,60 € in confezioni da 250 g e a 1,00 euro in confezioni da 500 g. Quale percentuale di sconto usufruisce chi compra la confezione da mezzo chilo?

In una piscina contenente 2800m3 di acqua si devono aggiungere 15 litri di cloro. Quanto cloro occorre per 1000m3 di acqua? [5,36 l]
La somma di due segmenti misura 34cm, sapendo che le loro lunghezze sono in proporzione con 3/2, calcola la loro lunghezza. [13,6; 20,4]
Gli angoli interni di un triangolo hanno misure proporzionali ai numeri 1; 3; 5. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°, calcola le misure degli angoli. [20°, 60°, 100°]
Un televisore a 16/9 ha la base di 18”. Quanti pollici misura l’altezza?
Per preparare una torta bisogna mettere 3 parti di zucchero ogni 4 parti di farina. Se si utilizzano 500g di farina, quanto zucchero bisogna utilizzare?
Un negoziante, durante il periodo di Natale, sconta tutti i prezzi del 10%. Se il prezzo iniziale di un paio di scarpe era €70,00 qual è ora il suo prezzo? Dopo le feste, il negoziante abbassa i nuovi i prezzi del 10%. Quanto costano ora le scarpe? [77€; 69,3 €]
Al cinema “Pegaso”’ hanno deciso di aumentare il biglietto del 10%; il numero degli spettatori è calato, però, del 10%. E’ stato un affare? spiega perché. [No, perde l‘1% dei ricavi]
Anna entra in una cartoleria e compra due penne, di cui una costa il doppio dell’altra; riceve lo sconto 15% sulla penna più costosa e del 40% su quella meno costosa. Qual è lo sconto che riceve complessivamente?
Pierino oggi ha incrementato il suo capitale del 10%. Se anche domani l’incremento sarà del 10%, quanto sarà l’incremento totale in percentuale? [21%]
Tizio ha perso il 20% dei suoi soldi; quanto dovrà guadagnare, in percentuale, per recuperare?
Un paio di scarpe scontato del 20% costa 40€ quanto costava prima dello sconto? [50€]
Per pavimentare una piazza 8 operai impiegano 10 giorni lavorando 8 ore al giorno; quanti giorni impiegherebbero 5 operai se lavorassero 6 ore al giorno?
Pierino si reca in un negozio di giocattoli, dove ne acquista uno. A Pierino vengono offerti due tipi di sconti, uno del 10% e uno del 35%. In quale ordine converrà ricevere i due sconti? Spiega il motivo.
Una tariffa telefonica ha un costo di 10 cent al minuto per i primi 5 minuti di conversazione. Per i minuti successivi aumenta del 5%. Dopo 15 minuti di conversazione aumenta del 20% del costo iniziale. Quanto si spende se si effettua una telefonata di 20 minuti? [2,15 €]
Un ingegnere incassa per la realizzazione di un progetto una certa somma. Di essa il 20% deve essere restituita allo stato come IVA e della parte rimanente il 40% deve essere pagata come tasse. Qual è la percentuale della somma che rimane all’ingegnere?
Nel paese di Vattelapesca il 20% degli abitanti è europeo il restante 80% è asiatico. La lingua inglese è parlata dal 50% degli europei e dal 40% degli asiatici. Se a Vattelapesca 5930 persone parlano inglese, quanti sono gli abitanti di Vattelapesca?
Un liquido viene filtrato con un primo filtro che toglie il 40% delle impurità. Successivamente viene filtrato con un secondo filtro che toglie il 30% delle impurità. Infine viene filtrato con un terzo filtro che elimina il 50% delle impurità. Quale percentuale complessiva delle impurità è stata eliminata?
Una prova di ammissione consiste di due test. Solo i 2/3 dei candidati superano il primo test e 1/5 di quelli che hanno superato il primo test superano anche il secondo. Qual è la percentuale di candidati che hanno superato tutti e due i test?
L’acquisto di un’auto può essere fatto con due tipi di pagamento: pagando l’intero importo di 23000 € all’acquisto il 1° gennaio 2011; oppure dividendo il pagamento in tre rate annuali di 8000, da pagare il 1° gennaio 2011, il 1° gennaio 2012, il 1° gennaio 2013. Avendo tutto il denaro su un conto corrente bancario a un interesse annuo del 3% quale forma di pagamento è più vantaggiosa? Di quanto?
Una forte influenza ha colpito il 60% dei bambini di età inferiore o uguale a 10 anni e il 15% delle persone di età maggiore. Se la percentuale di persone che si sono ammalate di questa influenza è stata del 20%, qual è la percentuale di bambini in quella popolazione?
Una maglietta costava lire 65.000 prima dell’entrata in vigore dell’euro, dopo costava € 40. Di quanto è aumentato in %, il prezzo della maglietta? Si tenga conto che 1 € valeva 1936,77 lire.
Una ragazza, di 46 kg, va dal dietologo, che le consiglia di restare entro il 5% del peso attuale. Tra quali valori può oscillare il suo peso?
Per raccogliere le foglie cadute nel cortile della scuola, Mario impiega 6 ore, Marco 10 ore, Matteo 15 ore. Se i tre si mettessero a lavorare insieme, in quante ore pulirebbero il cortile?
Una certa bevanda è ottenuta mescolando 1 parte di sciroppo con 5 parti di acqua. Per errore Adolfo ha mescolato 5 parti di sciroppo con 1 di acqua, ottenendo 3 litri di miscuglio. Aggiungendo una opportuna quantità di acqua, Adolfo può ottenere una bevanda in cui sono rispettate le proporzioni stabilite? Quanti litri di acqua deve aggiungere?

Frazioni e numeri razionali¶

Premessa storica¶

Frazioni¶

Dalle frazioni ai numeri razionali¶

La scrittura dei numeri razionali¶

I numeri razionali e la retta¶

Confronto tra numeri razionali¶

Le operazioni con i numeri razionali¶

Addizione¶

Sottrazione di frazioni¶

Moltiplicazione¶

Operazione inversa e aritmetica dell’orologio¶

Divisione¶

Potenza di una frazione¶

Potenza con esponente uguale a 0¶

Potenza con esponente un numero intero negativo¶

Esercizi di ripasso sulle operazioni con le frazioni¶

Notazione scientifica e ordine di grandezza¶

Come trasformare un numero in notazione scientifica?¶

Procedura per scrivere un numero decimale positivo a in notazione scientifica¶

Ordine di grandezza¶

Problemi con le frazioni¶

Le percentuali¶

Problemi con le percentuali¶

Problemi con gli sconti¶

Proporzioni¶

Calcolo di un medio o un estremo incognito¶

Calcolo del medio in una proporzione continua¶

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali¶

Espressioni con le frazioni¶

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4	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5
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8	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7
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10	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

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